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ARITMÉTICA · FRACCIONES

Suma de fracciones: cómo hacerla y ejemplos resueltos

Para sumar fracciones, primero deben tener el mismo denominador. Después sumas los numeradores, conservas ese denominador y simplificas el resultado si es posible.

Aquí tienes ocho sumas resueltas: con el mismo denominador, con denominadores diferentes y con números mixtos. Incluyen resultados mayores que uno, menores que uno y enteros. Cada desarrollo muestra de dónde sale el resultado.

Antes de empezar: numerador y denominador

En , el numerador es 3, el número de arriba; el denominador es 7, el de abajo. Si dividimos una unidad en siete partes iguales, la fracción representa tres de esas partes.

El denominador nunca puede ser cero. Los ejemplos de este artículo usan fracciones positivas con denominadores enteros positivos.

Los botones copian las fracciones con una barra: 3/7. Los paréntesis conservan la agrupación: (1 + 3 + 8)/7 indica que toda la suma se divide entre 7. Un número mixto se copia como una suma, por ejemplo (1 + 5/7), para evitar confundirlo con una multiplicación.

Suma de fracciones con el mismo denominador

Si todas las fracciones expresan partes del mismo tamaño y de una misma unidad, basta con contar cuántas partes hay. Por eso se suman los numeradores y se conserva el denominador.

EJEMPLO 01

Sumar séptimos

Los tres denominadores son 7. Sumamos 1 + 3 + 8 = 12 y mantenemos el 7:

El resultado 12/7 es una fracción impropia. Como 12 = 7 · 1 + 5, equivale a un entero y cinco séptimos. Ambas formas expresan la misma cantidad.

EJEMPLO 02

Sumar quintos

Sumamos los numeradores: 4 + 11 + 9 = 24. El denominador sigue siendo 5.

Como 24 = 5 · 4 + 4, se pueden formar cuatro enteros y sobran cuatro quintos. La fracción 24/5 ya es irreducible.

EJEMPLO 03

Sumar doceavos y simplificar

Primero sumamos 8 + 6 + 2 = 16. Después dividimos el numerador y el denominador entre 4 para simplificar:

16/12 también equivale a un entero y 4/12, pero 4/12 se puede reducir a 1/3. Por eso dejamos el resultado simplificado como 4/3 o como un entero y un tercio.

Suma de fracciones con denominadores diferentes

Antes de sumar, escribe fracciones equivalentes que compartan denominador. Así cuentas partes del mismo tamaño sin cambiar el valor de cada fracción.

  1. Elige un múltiplo común de todos los denominadores. El mínimo común múltiplo (m. c. m.) suele facilitar las cuentas.
  2. Convierte cada fracción. Divide el denominador común entre su denominador original. Multiplica tanto el numerador como el denominador por el factor obtenido.
  3. Suma los numeradores y conserva el denominador común. Simplifica al final si hay un divisor común mayor que 1.

Por ejemplo, para convertir 7/6 a dieciochoavos, calculas 18 ÷ 6 = 3 y multiplicas arriba y abajo por 3: (7 · 3)/(6 · 3) = 21/18.

No basta con multiplicar dos denominadores sin comprobar los demás. El número elegido debe ser múltiplo de todos. Con 2, 3 y 4, el producto 2 · 3 = 6 no sirve, porque 6 no es múltiplo de 4; puedes usar 12.

EJEMPLO 04

Denominadores 3, 6 y 9

El menor múltiplo común es 18: los múltiplos positivos de 9 empiezan por 9 y 18; 9 no es múltiplo de 6, pero 18 sí lo es de 3, de 6 y de 9.

  • 18 ÷ 3 = 6: multiplicamos 6/3 por 6/6 y obtenemos 36/18.
  • 18 ÷ 6 = 3: multiplicamos 7/6 por 3/3 y obtenemos 21/18.
  • 18 ÷ 9 = 2: multiplicamos 5/9 por 2/2 y obtenemos 10/18.

36 + 21 + 10 = 67. La fracción 67/18 ya está simplificada y, como 67 = 18 · 3 + 13, también se puede escribir como tres enteros y 13/18.

EJEMPLO 05

Denominadores 14, 5 y 2

14 = 2 · 7 y el otro factor necesario es 5. El mínimo común múltiplo es 2 · 7 · 5 = 70; ya incluye el denominador 2.

  • 70 ÷ 14 = 5: 8/14 se convierte en 40/70.
  • 70 ÷ 5 = 14: 12/5 se convierte en 168/70.
  • 70 ÷ 2 = 35: 9/2 se convierte en 315/70.

Sumamos 40 + 168 + 315 = 523. Como 523 = 70 · 7 + 33, el resultado es siete enteros y 33/70. La fracción 523/70 no se puede reducir.

Suma con números mixtos

Un número mixto combina una parte entera y una fracción propia. Por ejemplo, significa cinco enteros más dos quintos, no cinco multiplicado por dos quintos.

Cómo pasar de un número mixto a una fracción impropia

Multiplica la parte entera por el denominador, añade el numerador y conserva el denominador. En este caso hay 25 quintos en los cinco enteros, más otros dos quintos:

Para sumar números mixtos, puedes convertirlos primero a fracciones impropias y seguir el procedimiento habitual. También es posible sumar por separado las partes enteras y fraccionarias; aquí usaremos el primer método.

EJEMPLO 06

Un entero y tres quintos, más cuatro enteros y siete novenos

  1. Convierte los números mixtos. (1 · 5 + 3)/5 = 8/5 y (4 · 9 + 7)/9 = 43/9.
  2. Busca un denominador común. El m. c. m. de 5 y 9 es 45. Divide 45 entre cada denominador: 45 ÷ 5 = 9 y 45 ÷ 9 = 5.
  3. Forma las fracciones equivalentes. Multiplica arriba y abajo por esos factores: 8/5 se convierte en 72/45 y 43/9 en 215/45.
  4. Suma. 72 + 215 = 287; conserva el denominador 45.

La fracción 287/45 es irreducible. Para expresarla como número mixto, dividimos 287 entre 45: el cociente es 6 y el resto es 17, porque 287 = 45 · 6 + 17.

Resultados menores que uno o enteros

Una suma de fracciones no siempre supera la unidad. Estos dos casos completan los anteriores sin cambiar las reglas de suma.

EJEMPLO 07

Un resultado menor que uno

Para sumar 1/6 y 1/3, usamos 6 como denominador común: ya es múltiplo de 3. Convertimos 1/3 en 2/6 y sumamos.

Dividimos 3 y 6 entre 3 para simplificar. El resultado es 1/2: una fracción propia, cuyo numerador es menor que su denominador.

EJEMPLO 08

Un resultado exactamente entero

Las dos fracciones tienen denominador 8. Sumamos 3 + 5 = 8 y conservamos ese denominador:

Ocho octavos forman una unidad completa. Cuando numerador y denominador son iguales y distintos de cero, la fracción vale 1; no queda una parte fraccionaria.

Errores frecuentes y cómo comprobar la suma

No sumes los denominadores

Un medio más un tercio no es 2/5. Necesitas expresar ambos en sextos:

Hay una comprobación rápida: al sumar una fracción positiva a 1/2, el resultado debe ser mayor que 1/2. El valor 2/5 es menor, así que no puede ser la respuesta.

Cambia el numerador y el denominador a la vez

Si multiplicas solo el denominador, cambias el valor de la fracción. Por ejemplo, 1/2 equivale a 3/6, no a 1/6. El mismo factor debe aplicarse arriba y abajo.

Simplifica sin alterar el resultado

Divide numerador y denominador por un mismo divisor distinto de cero. En 16/12 puedes dividir ambos entre 4 y obtener 4/3; no puedes restarles el mismo número para simplificar.

Comprueba la forma mixta

Multiplica el entero por el denominador y añade el numerador de la parte fraccionaria. En el último ejemplo, 6 · 45 + 17 = 287: recuperas la fracción 287/45. Una estimación ayuda a detectar errores grandes, pero no sustituye la comprobación exacta de cada paso.

Referencias

Sobre denominadores comunes, fracciones equivalentes y números mixtos: OpenStax, Prealgebra 2e (en inglés).