Identidades trigonométricas: 24 ejemplos resueltos

La primera igualdad vale para todo ángulo real: es una identidad.

La segunda solo se cumple en ciertos ángulos; por ejemplo, x = 30° sí la cumple y x = 0° no.

En el círculo unitario, las coordenadas son (cos x, sen x); por Pitágoras, cos² x + sen² x = 1.

Condición: Ángulos reales; las dos expresiones deben estar definidas.

Comprobar varios ángulos puede detectar un fallo, pero demostrar una identidad exige un argumento válido en todo el dominio común.

1/csc 30° = 1/2 = sen 30°.

En cambio, sen 0° = 0 existe, pero 1/csc 0° no existe, porque csc 0° no está definida.

Por eso sen x = 1/csc x requiere sen x ≠ 0, aunque sen x por sí sola admita cualquier ángulo.

Condición: Usar el dominio común indicado en cada fila.

La condición incluye las funciones interiores. No basta revisar que un denominador escrito como csc x, sec x, tan x o cot x sea distinto de cero.

tan x = (3/5)/(4/5) = 3/4.

cot x = (4/5)/(3/5) = 4/3.

En x = 90°, cot x = cos x/sen x = 0/1 = 0; para calcularla no hace falta que tan x exista.

Condición: Datos compatibles con x en el primer cuadrante; 90° es un caso separado.

Pasar a seno y coseno suele hacer visibles los factores que se pueden simplificar y los denominadores que deben mantenerse distintos de cero.

sen² x = 1 − cos² x = 1 − 9/25 = 16/25.

Las dos raíces posibles son 4/5 y −4/5.

En el cuarto cuadrante el seno es negativo: sen x = −4/5.

Condición: x en el cuarto cuadrante.

La identidad determina el cuadrado. El cuadrante decide el signo; escribir siempre la raíz positiva perdería información.

sen² x/cos² x + cos² x/cos² x = 1/cos² x.

tan² x + 1 = sec² x.

Si tan x = 3/4, entonces sec² x = 1 + 9/16 = 25/16.

Condición: cos x ≠ 0.

El resultado da sec² x. Para obtener sec x habría que conocer además el signo del coseno.

sen² x/sen² x + cos² x/sen² x = 1/sen² x.

1 + cot² x = csc² x.

Si cot x = 4/3, entonces csc² x = 1 + 16/9 = 25/9.

Condición: sen x ≠ 0.

Dividir entre sen² x exige que sen x no sea cero; la identidad obtenida conserva esa restricción.

Sustituye 1 − cos² x por sen² x.

(1 − cos² x)/sen x = sen² x/sen x = sen x.

La igualdad conserva sen x ≠ 0: en x = 0° la expresión inicial tiene denominador cero.

Condición: sen x ≠ 0.

La expresión final tiene un dominio mayor si se mira aislada. Simplificar no autoriza a rellenar los puntos excluidos del problema original.

tan x cos x = (sen x/cos x) cos x.

Como cos x ≠ 0, se cancela ese factor y queda sen x.

Para x = 90°, sen x existe, pero el producto inicial no, porque tan x no está definida.

Condición: cos x ≠ 0.

No es correcto tratar un producto con una función no definida como si fuera cero por contener un factor cero.

Por la identidad pitagórica, sec² x − 1 = tan² x.

tan² x/tan x = tan x, siempre que tan x ≠ 0.

El resultado es tan x, con cos x ≠ 0 y sen x ≠ 0.

Condición: sen x ≠ 0 y cos x ≠ 0.

Aquí cos x ≠ 0 hace existir sec y tan; sen x ≠ 0 impide que el divisor tan x sea cero.

Multiplica la primera fracción por (1 + cos x)/(1 + cos x).

El numerador es (1 − cos x)(1 + cos x) = 1 − cos² x = sen² x.

Queda sen² x/[sen x(1 + cos x)] = sen x/(1 + cos x).

Condición: sen x ≠ 0; en ese dominio 1 + cos x ≠ 0.

Si sen x ≠ 0, entonces cos x no puede ser −1, de modo que el conjugado no es cero. La expresión derecha también existe en x = 0°, pero la igualdad con la original se mantiene solo en su dominio común.

sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β.

sen 75° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2).

sen 75° = (√6 + √2)/4.

Condición: Ángulos expresados en grados.

El seno de una suma no es la suma de los senos: aparecen dos productos. El resultado se conserva como valor exacto.

cos(α − β) = cos α cos β + sen α sen β.

cos 15° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2).

cos 15° = (√6 + √2)/4.

Condición: Ángulos expresados en grados.

En la fórmula del coseno de una diferencia aparece un signo más entre los productos. La coincidencia con sen 75° también concuerda con que 15° y 75° son complementarios.

tan(α + β) = (tan α + tan β)/(1 − tan α tan β).

tan 75° = (1 + 1/√3)/(1 − 1/√3) = (√3 + 1)/(√3 − 1).

Multiplica por (√3 + 1)/(√3 + 1): tan 75° = (4 + 2√3)/2 = 2 + √3.

Condición: cos α ≠ 0, cos β ≠ 0 y 1 − tan α tan β ≠ 0.

La fórmula requiere que existan las dos tangentes y que 1 − tan α tan β no sea cero. Por ejemplo, con α = β = 45° el denominador sería cero y tan 90° no existiría.

Sustituye α = β = x en la fórmula de sen(α + β).

sen(2x) = sen x cos x + cos x sen x = 2 sen x cos x.

sen(2x) = 2(3/5)(4/5) = 24/25.

Condición: Datos con seno y coseno positivos.

Duplicar el ángulo no duplica el seno: el factor cos x también interviene. La identidad vale para todo ángulo real.

cos(2x) = cos² x − sen² x = 16/25 − 9/25 = 7/25.

También: cos(2x) = 1 − 2 sen² x = 1 − 18/25 = 7/25.

O bien: cos(2x) = 2 cos² x − 1 = 32/25 − 1 = 7/25.

Condición: Identidades válidas para todo ángulo real.

Las tres formas se obtienen usando sen² x + cos² x = 1. Elige la que aproveche los datos disponibles.

tan(2x) = 2 tan x/(1 − tan² x).

tan(2x) = 2(1/2)/(1 − 1/4) = 1/(3/4) = 4/3.

Si tan x fuera 1 o −1, el denominador sería cero y esta expresión no estaría definida.

Condición: cos x ≠ 0 y tan² x ≠ 1.

La identidad se usa donde existen tan x y tan(2x). En particular, no permite sustituir x = 90°, aunque tan 180° sí exista.

2 sen² x = 1 − cos(2x).

sen² x = [1 − cos(2x)]/2.

Para x = 30°: sen² 30° = (1 − cos 60°)/2 = (1 − 1/2)/2 = 1/4.

Condición: Todo ángulo real; ejemplo numérico en grados.

sen² x es el cuadrado del valor de seno, no sen(x²). De la otra forma del ángulo doble se obtiene cos² x = [1 + cos(2x)]/2.

Para x = 30°, x/2 = 15° está en el primer cuadrante.

sen 15° = √[(1 − cos 30°)/2] = √(2 − √3)/2.

Para x = 390°, x/2 = 195° está en el tercer cuadrante, aunque cos 390° = cos 30°.

Por eso sen 195° = −√(2 − √3)/2.

Condición: Ángulos en grados; elegir el signo después de hallar el cuadrado.

La raíz cuadrada escrita con √ es no negativa. El signo del seno lo determina el cuadrante de x/2, no el de x.

sen α − sen β = 2 cos((α + β)/2) sen((α − β)/2).

Semisuma: (90° + 30°)/2 = 60°. Semidiferencia: (90° − 30°)/2 = 30°.

2 cos 60° sen 30° = 2(1/2)(1/2) = 1/2.

Comprobación directa: sen 90° − sen 30° = 1 − 1/2 = 1/2.

Condición: Ángulos reales expresados en la misma unidad.

Para deducirla, escribe α = A + B y β = A − B; al restar sus desarrollos de seno quedan 2 cos A sen B. El coseno debe llevar la semisuma, no la semidiferencia.

sen α sen β = [cos(α − β) − cos(α + β)]/2.

sen 75° sen 15° = (cos 60° − cos 90°)/2.

Resultado: (1/2 − 0)/2 = 1/4.

Condición: Ángulos reales en una misma unidad; ejemplo en grados.

La fórmula sale al restar los desarrollos de cos(α − β) y cos(α + β): los productos de cosenos se cancelan y queda 2 sen α sen β.

sen(−30°) = −1/2; cos(−30°) = √3/2.

tan(−30°) = −√3/3; cot(−30°) = −√3.

csc(−30°) = −2; sec(−30°) = 2√3/3.

Condición: Ángulos en grados; seno y coseno distintos de cero en este ejemplo.

El coseno conserva su signo al sustituir x por −x, y el seno lo cambia. Las reglas de cocientes y recíprocas permiten deducir las otras cuatro identidades.

Sustituye sen(2x) = 2 sen x cos x.

2 sen x cos x − sen x = 0; factoriza: sen x(2 cos x − 1) = 0.

Si sen x = 0, entonces x = 0 o x = π dentro del intervalo.

Si 2 cos x − 1 = 0, entonces cos x = 1/2 y x = π/3 o x = 5π/3.

Soluciones: 0, π/3, π y 5π/3.

Condición: x en radianes; 0 ≤ x < 2π.

Dividir directamente entre sen x perdería las soluciones 0 y π. Aquí se factoriza y se estudian ambos factores. La identidad sirve en la transformación, pero la ecuación no vale para cualquier x.

Prueba α = β = 30°.

Lado izquierdo: sen 60° = √3/2.

Lado derecho: 1/2 + 1/2 = 1.

Como √3/2 ≠ 1, la igualdad propuesta no es una identidad.

Condición: Contraejemplo con ambos lados definidos y ángulos en grados.

Con α = β = 0° los dos lados coincidirían. Un caso que coincide no demuestra la igualdad universal; un contraejemplo válido basta para refutarla.

Empieza solo por el lado izquierdo.

(1 − sen x)(1 + sen x) = 1 − sen² x, por diferencia de cuadrados.

1 − sen² x = cos² x, por la identidad pitagórica.

Has llegado al lado derecho mediante igualdades válidas para todo x real.

Condición: Todo ángulo real.

No se ha dividido entre una expresión que pudiera ser cero ni se ha usado la igualdad buscada como premisa. En verificaciones más largas, anota qué regla justifica cada paso.

Condición: Respetar la unidad y el dominio de cada pregunta.

La respuesta completa incluye las restricciones de la expresión original y, cuando se pide resolver, todas las soluciones del intervalo.

1. Identifica qué debe demostrarse y cuál es el dominio común.

2. Escribe seno y coseno cuando los cocientes oculten una simplificación.

3. Conserva las exclusiones al cancelar o dividir.

4. Distingue sen² x, sen(2x) y sen(x²).

5. Usa derivaciones para demostrar identidades y contraejemplos para refutar afirmaciones universales.

Condición: Funciones reales; cada igualdad conserva sus propias condiciones.

Las fórmulas generales valen en grados o en radianes si todos los ángulos se expresan de forma coherente. En ecuaciones, indica también el intervalo de búsqueda.