Ejemplos de conjuntos

J = {balón, dado, peonza}

dado ∈ J

libro ∉ J

Condición: Los nombres se interpretan dentro de este ejemplo.

∈ significa pertenece y ∉, no pertenece. La lista permite decidir cada caso; juguetes bonitos sería un criterio subjetivo si no se acuerda cómo evaluarlo.

L = {A, B, C, D, E, F, G}

|L| = 7

Condición: Los nombres se interpretan dentro de este ejemplo.

Las barras de |L| indican su cardinalidad: cuántos elementos distintos tiene. La posición de cada letra en el dibujo no cambia el conjunto.

C = {1, 2, 3, 4, 5}

|C| = 5

Condición: Los nombres se interpretan dentro de este ejemplo.

Escribir por extensión consiste en mostrar los elementos. Las llaves delimitan el conjunto; las comas separan sus miembros.

P = {x ∈ U : x es par}

P = {2, 4, 6, 8, 10}

Condición: x es un entero del universo U.

Los dos puntos se leen tal que. La regla y la lista describen exactamente el mismo conjunto; el universo fija el rango.

2 ∈ A

{2} ⊆ A

{2} ∉ A

Condición: Los elementos de A son los números 1, 2 y 3.

El número 2 es un elemento. El conjunto {2} es un subconjunto porque su único miembro está en A; no figura como elemento de A.

B = {b, a, n}

{b, a, n, a, n, a} = {a, b, n}

|B| = 3

Condición: Los nombres se interpretan dentro de este ejemplo.

Repetir una letra no añade otro elemento. Un conjunto tampoco conserva el orden de una palabra; banana y sus letras distintas son objetos diferentes.

E = ∅

E = { }

|E| = 0

Condición: Solo se admiten números enteros.

No hay ningún entero que cumpla las dos condiciones. ∅ y las llaves vacías representan el mismo conjunto.

K = {14}

14 ∈ K

|K| = 1

Condición: Los nombres se interpretan dentro de este ejemplo.

K es el conjunto que contiene 14. No identifiques la colección con el número que está dentro de ella.

|∅| = 0

|{0}| = 1

|{∅}| = 1

Condición: Los nombres se interpretan dentro de este ejemplo.

{0} contiene un número y {∅} contiene un conjunto, el vacío. Las dos últimas colecciones tienen un elemento, aunque ese elemento sea diferente.

|C| = 5

|D| = 5

C ≠ D

Condición: Los nombres se interpretan dentro de este ejemplo.

Ambos son finitos y tienen el mismo tamaño, pero no los mismos elementos. Finito incluye también el caso de cero elementos.

Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}

1/2 ∉ Z

Condición: Los puntos suspensivos siguen la regla de los enteros.

Esta lista representa los enteros, no todos los reales. Por grande que sea un entero n, n + 1 también es entero; no existe un último entero.

S = {1, 2, 3, 4, 5, …}

Para cada n ∈ S, n + 1 ∈ S

Condición: S contiene todos los enteros positivos.

Ninguna lista finita agota S: a su mayor elemento se le puede sumar uno. Escribir los primeros como I, II, III no cambia cuáles son los números; las convenciones romanas no sustituyen la regla que define S.

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {2, 4, 6}

A ⊆ U

Condición: Los nombres se interpretan dentro de este ejemplo.

El universo es la colección de referencia de este ejercicio. No significa todos los elementos que existen en cualquier contexto.

A = B

|A| = |B| = 3

Condición: Los nombres se interpretan dentro de este ejemplo.

Cambió la colocación de los números, pero cada elemento de A está en B y viceversa. Eso prueba la igualdad.

F ∩ G = ∅

Condición: Los nombres se interpretan dentro de este ejemplo.

No comparten ningún elemento. El término habitual es disjuntos; que sus miembros sean números en ambos casos no crea una intersección.

7 ↔ 10; 8 ↔ 11; 9 ↔ 12

|H| = |I| = 3

H ≠ I

Condición: Se compara cardinalidad, no igualdad de elementos.

Cada elemento se empareja con uno del otro conjunto sin repetir ni dejar ninguno. Se llaman equipotentes; algunos materiales escolares los llaman equivalentes.

M ∩ N = {1, 3, 5}

|M ∩ N| = 3

Condición: Los nombres se interpretan dentro de este ejemplo.

Intersección significa pertenecer a ambos conjuntos. El símbolo ∩ evita confundir la operación con escribir MN.

P ⊆ M

P ≠ M

∅ ⊆ M

M ⊆ M

Condición: Los nombres se interpretan dentro de este ejemplo.

P está contenido en M y es distinto de M: es un subconjunto propio. ⊆ permite igualdad. El vacío es subconjunto porque no tiene un elemento que incumpla la condición.

Subconjuntos: ∅, {a}, {b}, {a, b}

Cantidad de subconjuntos: 4

Condición: Los nombres se interpretan dentro de este ejemplo.

Las cuatro elecciones son distintas y agotan las posibilidades. Incluye tanto el vacío como T; no confundas los dos elementos de T con sus cuatro subconjuntos.

M ∪ N = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}

|M ∪ N| = 5 + 5 − 3 = 7

Condición: Los nombres se interpretan dentro de este ejemplo.

La unión recoge elementos de M, de N o de ambos. Se restan los tres comunes porque al sumar los tamaños se habían contado dos veces.

M ∖ N = {2, 4}

N ∖ M = {7, 9}

Condición: Los nombres se interpretan dentro de este ejemplo.

En M ∖ N quedan los miembros de M que no están en N. Cambiar el orden puede cambiar el resultado; aquí los resultados son distintos.

Aᶜ = U ∖ A = {1, 3, 5, 7, 8, 9, 10}

Condición: Aᶜ se calcula respecto del universo indicado.

El complemento contiene lo que está en U y no en A. Si U fuera solo {1, 2, 3, 4, 5, 6}, el complemento sería {1, 3, 5}.

A ∩ B = {D, E}

A ∖ B = {M, O, P, Z}

B ∖ A = {A, L, R}

|A ∪ B| = 9

Condición: U es la unión de estos dos conjuntos.

D y E aparecen en la zona común una sola vez. El rótulo de conjunto A no es la letra A que aparece como elemento de B.

Lectura ∩ Música = {Cora}

Lectura ∪ Música = {Ana, Beto, Cora, Dani, Eva}

Ninguna actividad: {Fede}

3 + 3 − 1 = 5

Condición: Cada nombre identifica a una persona distinta.

Cora participa en ambas actividades, pero es una sola persona. Cinco participan en al menos una y una en ninguna.

Mascotas = {perro, gato, pez, tortuga, conejo}

V = {libro, avión, palma, 9, E}

|Mascotas| = 5; |V| = 5

Condición: E es la letra E y las palabras se usan como etiquetas.

En la primera se enumeran nombres de animales; en la segunda, palabras, un número y una letra. Homogéneo y heterogéneo son descripciones escolares, no requisitos para que exista un conjunto. Una lista explícita basta para fijar sus miembros.

Condición: Los nombres se interpretan dentro de este ejemplo.

Comprueba la propiedad que explica cada fila. Las categorías no son excluyentes: un conjunto vacío también es finito.

Condición: Los nombres se interpretan dentro de este ejemplo.

Para convertir una agrupación cotidiana en un conjunto matemático, indica qué objetos o tipos de objetos estás contando. El nombre de una tienda o una duración no reemplaza esa definición.