EJEMPLO 01
Un término con coeficiente visible
3 · x
- Coeficiente de x: 3
El 3 multiplica a x; es el coeficiente numérico. x es la parte literal.
ÁLGEBRA · NÚMEROS, FACTORES Y VARIABLES
Coeficiente: 20 ejemplos de álgebra y usos en ciencias
El coeficiente numérico de un término es el número que multiplica a su parte literal. En −7x³, el coeficiente es −7, la parte literal es x³ y el exponente de x es 3.
Un coeficiente puede ser positivo, negativo, fraccionario o cero. A veces no se escribe, como el 1 de x o el −1 de −x. También puede expresarse con letras cuando se aclara qué símbolos son variables y cuáles se tratan como parámetros.
Cómo identificar un coeficiente
- Separa los términos con sus signos. En 3x − 7y, los coeficientes son 3 y −7.
- Identifica qué factor multiplica a las letras. La posición no lo define: x·3 y 3x tienen el mismo coeficiente 3.
- Calcula los factores numéricos. En (2 + 4)fg, primero obtienes 6.
- Fija las variables si hay parámetros. En aX, a es el coeficiente de X si a se trata como parámetro.
Un monomio es un polinomio de un término; un binomio, de dos; y un trinomio, de tres. «Polinomio» también incluye estos casos: no se limita a expresiones de cuatro o más términos.
20 ejemplos para reconocer coeficientes
EJEMPLO 02
Dos términos, dos coeficientes
3 · x + 4 · y
- Coeficiente de x: 3
- Coeficiente de y: 4
Cada término tiene su propio coeficiente. No se asigna un único coeficiente a toda la suma.
EJEMPLO 03
Un coeficiente que primero hay que calcular
(2 + 4) · f · g
=6 · f · g
- Coeficiente de f·g: 6
Resuelve 2 + 4. El resultado, 6, multiplica al producto fg.
EJEMPLO 04
Tres términos con coeficientes distintos
2 · a + 2 · b + 3 · c
- Coeficiente de a: 2
- Coeficiente de b: 2
- Coeficiente de c: 3
Los coeficientes son 2, 2 y 3, asociados respectivamente a a, b y c.
EJEMPLO 05
Otro coeficiente obtenido de una suma
(1 + 8) · a · b
=9 · a · b
- Coeficiente de a·b: 9
Después de calcular el paréntesis, el coeficiente numérico de ab es 9.
EJEMPLO 06
Coeficientes literales: hay que fijar las variables
a · X + b · Y + c · Z
- Coeficiente de X: a
- Coeficiente de Y: b
- Coeficiente de Z: c
Aquí X, Y y Z son las variables; a, b y c se tratan como parámetros. En aX + bY, los coeficientes respecto de X e Y son igualmente a y b.
EJEMPLO 07
El coeficiente 1 implícito
x
=1 · x
- Coeficiente de x: 1
Cuando se escribe x sin número delante, se entiende 1·x. También 1X = X.
EJEMPLO 08
El coeficiente −1 implícito
−x
=(−1) · x
- Coeficiente de x: −1
El signo menos forma parte del coeficiente: −x significa (−1)·x.
EJEMPLO 09
Un coeficiente fraccionario negativo
(−3 /4) · x2
- Coeficiente de x2: −3 /4
El coeficiente es −3/4; el exponente de x es 2. Son partes diferentes del término.
EJEMPLO 10
Un coeficiente fraccionario positivo
(1 /2) · x · y
- Coeficiente de x·y: 1 /2
1/2 multiplica a toda la parte literal xy, no solo a una de las letras.
EJEMPLO 11
Coeficientes de un binomio
3 · x + 5 · y
- Coeficiente de x: 3
- Coeficiente de y: 5
El binomio tiene dos términos y los coeficientes son 3 y 5.
EJEMPLO 12
El signo también se incluye en el coeficiente
3 · x + 5 · y − 7 · z
- Coeficiente de x: 3
- Coeficiente de y: 5
- Coeficiente de z: −7
El tercer coeficiente es −7, no 7. El signo que precede al término le pertenece.
EJEMPLO 13
Cinco términos en un polinomio
3 · x + 8 · x · y − 5 · y + 13 · y · z − 7 · z
- Coeficiente de x: 3
- Coeficiente de x·y: 8
- Coeficiente de y: −5
- Coeficiente de y·z: 13
- Coeficiente de z: −7
Se consideran términos en las variables x, y y z conjuntamente. Así se obtiene un coeficiente numérico para cada parte literal.
EJEMPLO 14
El coeficiente no cambia los exponentes
(2 + 5) · X2 · Y
=7 · X2 · Y
- Coeficiente de X2·Y: 7
Al calcular 2 + 5 solo cambia el coeficiente. La parte literal X²Y se conserva.
EJEMPLO 15
Un factor delante de un paréntesis
2 · (X + Y)
=2 · X + 2 · Y
- Coeficiente de X: 2
- Coeficiente de Y: 2
El 2 multiplica a la expresión completa X + Y. Después de distribuirlo, cada término tiene coeficiente 2.
EJEMPLO 16
Distinguir coeficiente de exponente
−7 · x3
- Coeficiente de x3: −7
El coeficiente es −7; el exponente es 3. El coeficiente multiplica a x³, mientras que el exponente indica una potencia.
EJEMPLO 17
El término independiente
4 · x2 − 3 · x + 7
- Coeficiente de x2: 4
- Coeficiente de x: −3
- Término independiente: 7
7 no contiene x: es el término independiente. También puede entenderse como coeficiente de la potencia de grado cero, cuyo factor formal es 1.
EJEMPLO 18
Un término ausente tiene coeficiente cero
5 · x3 + 2 · x − 1
- Coeficiente de x3: 5
- Coeficiente de x2: 0
- Coeficiente de x: 2
- Término independiente: −1
No aparece x², por lo que su coeficiente es 0. No hay que desplazar los coeficientes de los otros grados.
EJEMPLO 19
Reducir antes de leer el coeficiente final
2 · x + 3 · x − x
=(2 + 3 − 1) · x
=4 · x
- Coeficiente de x: 4
Los coeficientes de los términos escritos son 2, 3 y −1. Al reducirlos, el coeficiente de x en el polinomio es 4.
EJEMPLO 20
Depende de la variable elegida
6 · x · y2
- Coeficiente numérico: 6
- Coeficiente de x, tratando y como parámetro: 6 · y2
- Coeficiente de y², tratando x como parámetro: 6 · x
Si x e y se consideran juntas, el coeficiente numérico es 6. Si se estudia solo x, todo el factor 6y² actúa como su coeficiente; respecto de y², es 6x.
Coeficientes estequiométricos: cinco ejemplos
En una ecuación química, el coeficiente multiplica a la fórmula completa y expresa una proporción entre sustancias. No cambia sus subíndices: 2 H2O representa dos unidades de agua, no una fórmula distinta. Las proporciones también se interpretan en moles; no indican por sí solas cuánto contiene una muestra real.
Estas ecuaciones representan la combustión completa de cinco hidrocarburos. Las fracciones conservan las proporciones molares; se muestra también la forma entera para etano y butano. El coeficiente 1 se deja visible para identificarlo.
Metano
1 CH4 + 2 O2 → 1 CO2 + 2 H2O
En la primera ecuación, los coeficientes son: 1, 2, 1, 2. Balance en cada lado de esa ecuación: C = 1, H = 4, O = 4.
Etano
1 C2H6 + (7/2) O2 → 2 CO2 + 3 H2O
Con enteros: 2 C2H6 + 7 O2 → 4 CO2 + 6 H2O
En la primera ecuación, los coeficientes son: 1, 7/2, 2, 3. Balance en cada lado de esa ecuación: C = 2, H = 6, O = 7. En la forma entera se duplican todos los coeficientes y los totales de átomos.
Propano
1 C3H8 + 5 O2 → 3 CO2 + 4 H2O
En la primera ecuación, los coeficientes son: 1, 5, 3, 4. Balance en cada lado de esa ecuación: C = 3, H = 8, O = 10.
Butano
1 C4H10 + (13/2) O2 → 4 CO2 + 5 H2O
Con enteros: 2 C4H10 + 13 O2 → 8 CO2 + 10 H2O
En la primera ecuación, los coeficientes son: 1, 13/2, 4, 5. Balance en cada lado de esa ecuación: C = 4, H = 10, O = 13. En la forma entera se duplican todos los coeficientes y los totales de átomos.
Pentano
1 C5H12 + 8 O2 → 5 CO2 + 6 H2O
En la primera ecuación, los coeficientes son: 1, 8, 5, 6. Balance en cada lado de esa ecuación: C = 5, H = 12, O = 16.
Referencia: OpenStax, ecuaciones y coeficientes estequiométricos.
Coeficientes en física: dilatación lineal
En el modelo ΔL ≈ α·L0·ΔT, α relaciona el cambio de longitud con la longitud inicial y el cambio de temperatura. Sus unidades son °C⁻¹ o K⁻¹, no m/°C. Se aproxima como constante en un intervalo pequeño; puede variar con el material y la temperatura.
| Material | Valor | Referencia y condición |
|---|---|---|
| Cobre | 17 | Valor representativo a 20 °C. OpenStax, tabla 13.2. |
| Hierro | 12 | Hierro o acero, valor representativo a 20 °C. OpenStax, tabla 13.2. |
| Aluminio | 25 | Valor representativo a 20 °C. OpenStax, tabla 13.2. |
| Plata | 18 | Valor representativo a 20 °C. OpenStax, tabla 13.2. |
| Níquel | 12,9 | Referencia citada por NIST; no se presupone la misma condición de los otros valores. NIST, Fields y colaboradores (1991). |
OpenStax: tabla de dilatación. NIST: referencia para níquel.
Ejemplo de uso del coeficiente
ΔL ≈ α · L0 · ΔT
α ≈ 17 × 10-6 °C-1; L0 = 2 m; ΔT = 10 °C
ΔL ≈ (17 × 10-6 °C-1) · (2 m) · (10 °C)
ΔL ≈ 0,00034 m = 0,34 mm
Ejemplo aproximado para cobre, usando α constante en un intervalo pequeño de temperatura. El cambio de longitud depende también de la longitud inicial.
Errores frecuentes
- Confundir coeficiente y exponente: en −7x³ son −7 y 3.
- Olvidar el signo: el coeficiente de −x es −1.
- Suponer que todo coeficiente es mayor o igual que 1: también puede ser negativo, fraccionario o cero.
- Leer un solo coeficiente para toda una suma: cada término tiene el suyo; primero reduce los semejantes cuando corresponda.
- Usar letras como coeficientes sin fijar variables: el ejemplo 20 muestra cómo cambia la respuesta según la variable elegida.
- Confundir coeficientes químicos con subíndices: el número anterior a una fórmula multiplica toda la sustancia.