EJEMPLO 01
Grado 11 · 6 términos
a5 + a4 · b7 + a3 · b8 − a2 · b6 − a · b5 + b
El grado se obtiene sumando los exponentes dentro de cada término: 5, 11, 11, 8, 6 y 1. El máximo es 11; no basta buscar el mayor exponente escrito.
ÁLGEBRA · EXPRESIONES Y GRADO
Polinomios: ejemplos, tipos, grado y cómo evaluarlos
Un polinomio es una suma finita de monomios: sus variables tienen exponentes enteros no negativos. Puede tener un solo término, varios o ser el polinomio cero.
Por ejemplo, 3x³ − 2x + 5 es un polinomio de grado 3. En esta colección verás ejemplos con una o varias variables, coeficientes fraccionarios, términos ausentes y casos que ayudan a reconocer cuándo una expresión no es polinómica.
15 ejemplos de polinomios explicados
Para hallar el grado total, primero reduce los términos semejantes. Después suma los exponentes dentro de cada término no nulo y toma el mayor de esos grados. Los coeficientes no se suman para calcular el grado.
El punto · indica multiplicación. Al copiar, * significa multiplicar y ^ indica una potencia. La copia incluye la explicación de cada ejemplo.
EJEMPLO 02
Grado 1 · 6 términos
a + b − c + d − e + f
Cada término tiene grado 1. Hay seis variables y los coeficientes son 1 o −1.
EJEMPLO 03
Grado 4 · 4 términos
x · z3 − 4 · x2 · z2 + 3 · z − 8
Los dos primeros términos tienen grado total 4. El término independiente es −8.
EJEMPLO 04
Grado 3 · 4 términos
(1/2) · w3 + (1/2) · x2 + (3/4) · y + (1/4) · z
Las fracciones están en los coeficientes: los exponentes de las variables siguen siendo enteros no negativos.
EJEMPLO 05
Grado 5 · 4 términos
2 · a2 + 3 · b2 + 4 · c + 2 · d5
Los coeficientes son enteros. El término 2d⁵ determina el grado total 5.
EJEMPLO 06
Grado 3 · 5 términos
(3/4) · x3 + 2 · x2 + (1/2) · x · y + 4 · y + 8 · y3
No hay términos semejantes que reunir. x³ e y³ son distintos aunque tengan el mismo grado.
EJEMPLO 07
Grado 5 · 6 términos
3 · f4 + f3 · g2 + f2 · g − f + g − 2 · h
El término f³g² tiene grado 3 + 2 = 5, mayor que el grado 4 de 3f⁴.
EJEMPLO 08
Grado 1 · 6 términos
a + 3 · b − 4 · c + 5 · x + 2 · y + 2 · z
Es un polinomio de grado 1 en seis variables. No se suman coeficientes de términos con letras diferentes.
EJEMPLO 09
Grado 6 · 4 términos
7 · d6 + 6 · f5 − 5 · g4 + 4 · h3
Los grados de los términos son 6, 5, 4 y 3. El grado total del polinomio es el mayor: 6.
EJEMPLO 10
Una sola variable
3 · x3 − 2 · x + 5
Tres términos: coeficientes 3 y −2, y término independiente 5. El coeficiente de x² es cero.
EJEMPLO 11
Potencias que faltan
5 · x4 − 2 · x2 + 7
No aparecen x³ ni x; sus coeficientes son cero. El grado sigue siendo 4.
EJEMPLO 12
Coeficientes fraccionarios
(1/2) · x2 − (3/4) · x + 1
Los exponentes son 2, 1 y 0. Una fracción como coeficiente no impide ser polinomio.
EJEMPLO 13
Un monomio también es polinomio
−6 · x3
Tiene un único término no nulo. Los monomios forman parte de la familia de los polinomios.
EJEMPLO 14
Un polinomio constante
7
Una constante no nula tiene grado 0; no necesita letras.
EJEMPLO 15
El polinomio cero
0
Todos sus coeficientes son cero. En esta guía no se le asigna grado; no se confunde con una constante no nula de grado 0.
Partes, grado y coeficientes que no aparecen
En P(x) = 5x⁴ − 2x² + 7, la letra x es la variable y P es el nombre del polinomio. El término principal es 5x⁴; su coeficiente, 5. El término independiente es 7.
Ordenado por potencias descendentes y mostrando los huecos:
Escribir los coeficientes cero
5 · x4 − 2 · x2 + 7
=5 · x4 + 0 · x3 − 2 · x2 + 0 · x + 7
Los coeficientes, desde x⁴ hasta x⁰, son 5, 0, −2, 0 y 7. Mostrar los ceros no añade términos no nulos: sigue siendo un trinomio.
En varias variables conviene distinguir grado total y grado respecto de cada variable. En xz³ − 4x²z² + 3z − 8, el grado total es 4; respecto de x es 2 y respecto de z es 3.
Los polinomios pueden tener coeficientes reales, no solo enteros o fracciones. Por ejemplo, √2 · x² + 1 es un polinomio de grado 2: √2 es una constante. Lo que no se admite en la definición polinómica básica es que la variable tenga exponente fraccionario.
Cómo reducir y ordenar un polinomio
Un polinomio puede estar escrito con términos semejantes todavía sin reunir. Reducir significa agrupar esos términos; ordenar cambia su posición. Ninguno de esos pasos exige factorizar.
Reducir términos semejantes
3 · x2 + 5 · x − 2 · x2 + 7 − x
=(3 − 2) · x2 + (5 − 1) · x + 7
=x2 + 4 · x + 7
Solo se reúnen términos con la misma parte literal: x² con x², y x con x.
Ordenar por potencias descendentes
4 − 2 · x + 3 · x3
=3 · x3 − 2 · x + 4
No cambia el valor del polinomio ni el signo de los términos; solo cambia su posición.
El grado puede bajar al reducir
2 · x4 + 3 · x2 − 2 · x4 + x
=3 · x2 + x
Los términos de grado 4 se cancelan. El polinomio reducido tiene grado 2, no 4.
Un polinomio que se reduce a cero
2 · x2 − 3 · x + 1 − 2 · x2 + 3 · x − 1
=0
Todos los términos se cancelan. El resultado es el polinomio cero, sin grado asignado en esta guía.
Reducir sin confundir exponentes
3 · x2 · y + 2 · x · y2 − x2 · y
=2 · x2 · y + 2 · x · y2
x²y y xy² tienen el mismo grado total, pero no son semejantes. El resultado tiene dos términos y grado total 3.
Factorizar es otra operación: reescribe una expresión como producto. Puede ser útil para resolver otros problemas, pero no es un requisito para reducir términos semejantes ni todos los polinomios se factorizan de forma no trivial en el conjunto de coeficientes elegido.
Cómo calcular el valor de un polinomio
Evaluar consiste en sustituir cada variable por el valor indicado. Primero calcula las potencias, después los productos y al final las sumas. Usa paréntesis al sustituir números negativos.
Un valor negativo: P(−2)
Para P(x) = 3x³ − 2x + 5, sustituimos x por −2:
3 · (−2)3 − 2 · (−2) + 5
=−24 + 4 + 5
=−15
P(−2) = −15. El cubo de −2 es −8 y −2 · (−2) = 4.
Un valor fraccionario: Q(1/2)
Para Q(x) = 2x² − x + 3:
2 · (1/2)2 − 1/2 + 3
=1/2 − 1/2 + 3
=3
Q(1/2) = 3. Las fracciones se calculan de forma exacta, sin redondear.
Dos variables: R(2, −1)
Para R(x, y) = x²y + 2y − 3, usamos x = 2 e y = −1:
22 · (−1) + 2 · (−1) − 3
=−4 − 2 − 3
=−9
R(2, −1) = −9. Se sustituye cada variable de forma consistente.
El grado del polinomio no es el número obtenido al evaluarlo. Tampoco evaluar equivale a resolver una ecuación: aquí los valores de las variables ya están dados.
Expresiones que no son polinomios
En las variables indicadas, estos casos no cumplen la definición:
- 1/x + 2: contiene x⁻¹; la variable está en el denominador.
- √x + 1: la potencia de x es 1/2.
- 2ˣ + 1: la variable está en el exponente.
Un caso con varios exponentes fraccionarios
5w1/4 + x1/2 + y3/4 + z1/2
Esta expresión no es un polinomio en w, x, y, z. Sus exponentes 1/4, 1/2 y 3/4 no son enteros. En números reales, se toma w, x, y, z ≥ 0 para estas potencias.
No hay que confundir este caso con un coeficiente fraccionario: (1/2)x² sí es un monomio, porque el exponente de x es 2.
Tipos de polinomios y errores frecuentes
Después de reducir, se suelen distinguir monomios (un término no nulo), binomios (dos) y trinomios (tres). Todos son polinomios. El polinomio cero se trata aparte.
También puedes describirlos por su grado, por sus variables o por sus coeficientes: por ejemplo, «polinomio de grado 3 en x» o «polinomio con coeficientes racionales». Estas descripciones no son categorías excluyentes: un mismo polinomio cumple varias a la vez.
- No excluyas los monomios: −6x³ y 7 también son polinomios.
- No cuentes antes de simplificar: x + 2x se reduce a un término, 3x.
- No confundas los exponentes con los coeficientes: (1/2)x² es polinómico; x elevado a 1/2 no lo es.
- No tomes siempre el mayor exponente aislado: a⁴b⁷ tiene grado total 11.
- No elimines términos diferentes: x² e y² no son semejantes aunque ambos tengan grado 2.
Referencia
Definición, grado, reducción de semejantes y evaluación: OpenStax, Elementary Algebra 2e, sección 6.1. Los ejemplos de esta página conservan los casos válidos del original y añaden variantes comprobadas.