ÁLGEBRA · IGUALDADES, SOLUCIONES Y CONDICIONES
Una ecuación algebraica es una igualdad entre expresiones algebraicas. Resolverla consiste en encontrar los valores permitidos de la incógnita que hacen verdadera esa igualdad. Por ejemplo, x + 5 = 12 tiene solución x = 7 porque 7 + 5 = 12.
Aquí encontrarás fórmulas de geometría y física con datos numéricos, ecuaciones de primer grado y casos con varias soluciones, ninguna o infinitas. Cada ejemplo indica qué se busca, cómo se calcula y qué condiciones hay que respetar.
La expresión 3x + 2 no afirma una igualdad. La ecuación 3x + 2 = 14 sí la afirma y permite buscar x. La incógnita puede aparecer en ambos miembros: no tiene que estar aislada desde el principio.
Una fórmula expresa una relación que se reutiliza bajo ciertas condiciones, como A = b · h para un rectángulo. La letra que se busca depende de los datos: si se conocen base y altura, se calcula área; si se conocen área y base, se puede buscar altura.
Las letras no tienen un significado fijo en todas las ciencias. También pueden representar calor, entalpía u otras magnitudes, siempre que el modelo las defina. En los ejemplos siguientes se explica cada símbolo dentro de su contexto y se trabaja en los números reales.
Estas aplicaciones muestran igualdades algebraicas con significado concreto. Las unidades y las condiciones forman parte del problema; una fórmula no vale para cualquier situación.
EJEMPLO 01
Un triángulo tiene base de 8 cm y altura correspondiente de 5 cm. Calcula su área.
A = (b·h)/2
A = (8 cm · 5 cm)/2 = 20 cm2
Condición: b > 0, h > 0; longitudes en unidades compatibles.
La altura es perpendicular a la base elegida. La incógnita es A; b y h son los datos.
EJEMPLO 02
Un rectángulo mide 7 m de base y 3 m de altura.
A = b·h
A = 7 m · 3 m = 21 m2
Condición: b > 0 y h > 0.
A es el área y b y h son las longitudes de lados perpendiculares. El producto de dos longitudes da unidades cuadradas.
EJEMPLO 03
El lado de un cuadrado mide 4 cm.
A = L·L = L2
A = 4 cm · 4 cm = 16 cm2
Condición: L > 0.
Los dos factores son el mismo lado. El exponente 2 corresponde al área, no al perímetro.
EJEMPLO 04
Un cubo tiene aristas de 3 cm.
V = L·L·L = L3
V = 3 cm · 3 cm · 3 cm = 27 cm3
Condición: L > 0.
Tres dimensiones iguales producen unidades cúbicas. Esta fórmula permite calcular volumen a partir de la longitud de la arista.
EJEMPLO 05
Un móvil recorre 150 m durante un intervalo de 30 s.
v = d/t
v = 150 m / 30 s = 5 m/s
Condición: t > 0; d ≥ 0.
Con d como distancia recorrida, d/t es rapidez media. Para velocidad media en una dirección se usa desplazamiento, con signo, entre tiempo. No implica que la rapidez sea constante en cada instante.
EJEMPLO 06
El radio de un círculo mide 3 cm.
A = πr2
A = π · (3 cm)2 = 9π cm2
Condición: r > 0.
r representa el radio. El resultado con π es exacto y no necesita redondeo.
EJEMPLO 07
El diámetro de un círculo mide 10 cm.
P = πd
P = π · 10 cm = 10π cm
Condición: d > 0.
P representa aquí el perímetro, es decir, la longitud de la circunferencia. El diámetro es el doble del radio.
EJEMPLO 08
Los tres lados de un triángulo equilátero miden 6 cm cada uno.
P = 3L
P = 3 · 6 cm = 18 cm
Condición: L > 0; triángulo equilátero.
Sumar tres lados iguales produce 3L. La igualdad P = 3L convierte la expresión en una ecuación para el perímetro.
EJEMPLO 09
Un cuadrado tiene lado de 5 cm.
P = 4L
P = 4 · 5 cm = 20 cm
Condición: L > 0.
El perímetro mide el contorno, por eso se expresa en centímetros y no en centímetros cuadrados.
EJEMPLO 10
Una fuerza de 12 N actúa en la dirección y sentido de un desplazamiento de 4 m.
W = F·d
W = 12 N · 4 m = 48 J
Condición: F y d son magnitudes; fuerza constante, paralela y en el mismo sentido del desplazamiento.
W representa trabajo. La fórmula Fd se aplica aquí porque la fuerza es constante y está alineada con el desplazamiento. Para un ángulo θ, el caso general de fuerza constante es W = Fd cos θ.
EJEMPLO 11
Una fuerza normal de 200 N se distribuye sobre un área de 4 m².
P = F/A
P = 200 N / 4 m2 = 50 Pa
Condición: A > 0; F es la fuerza normal.
P representa presión, no perímetro. F es la fuerza perpendicular a la superficie. Si la distribución no es uniforme, F/A da la presión media. Un pascal equivale a N/m².
EJEMPLO 12
Por una sección pasan 12 C de carga neta durante 3 s.
I = Q/t
I = 12 C / 3 s = 4 A
Condición: t > 0; carga e intervalo medidos sobre el mismo periodo.
Q es la carga neta transferida durante el intervalo t. I es la corriente media; si se mantiene constante, coincide con la corriente en cada instante. Aquí A como unidad significa amperio.
EJEMPLO 13
Un cilindro circular recto tiene radio de 2 cm y altura de 5 cm.
V = πr2h
V = π · (2 cm)2 · 5 cm = 20π cm3
Condición: r > 0 y h > 0; altura perpendicular a la base.
Se multiplica el área de la base circular por la altura. El resultado exacto conserva π.
EJEMPLO 14
Un cuerpo tiene masa de 2 kg. Usa g = 9,8 m/s² para este cálculo.
W = m·g
W = 2 kg · 9,8 m/s2 = 19,6 N
Condición: El resultado usa el valor aproximado dado de g.
Aquí W designa el peso: una fuerza, no una masa. El significado se define en este ejemplo; no es el W del trabajo del ejemplo 10. g es la magnitud de la aceleración gravitatoria local.
EJEMPLO 15
En 4 s pasan 12 L de líquido por una sección.
q = V/t
q = 12 L / 4 s = 3 L/s
Condición: t > 0; volumen e intervalo correspondientes al mismo paso de fluido.
V es el volumen transferido durante t. El cociente es un caudal volumétrico medio, no una velocidad. Si el flujo es constante, coincide con el caudal instantáneo.
Sumar o restar la misma expresión en ambos miembros conserva la igualdad dentro de su dominio. También se puede multiplicar o dividir ambos miembros por una constante distinta de cero.
EJEMPLO 16
Resuelve x + 5 = 12.
x + 5 = 12
x + 5 − 5 = 12 − 5
x = 7
Comprobación: 7 + 5 = 12
Restamos 5 en ambos miembros para conservar la igualdad. La solución es x = 7.
EJEMPLO 17
Resuelve 3x − 4 = 11.
3x − 4 = 11
3x = 15
x = 15/3 = 5
Comprobación: 3·5 − 4 = 11
Primero sumamos 4 a ambos lados; después dividimos ambos entre 3, que es distinto de cero.
EJEMPLO 18
Resuelve 5x + 2 = 2x + 14.
5x + 2 = 2x + 14
3x + 2 = 14
3x = 12
x = 4
Comprobación: 5·4 + 2 = 2·4 + 14 = 22
Restamos 2x en ambos miembros, restamos 2 y dividimos entre 3. No se cambian signos sin una operación que lo justifique.
EJEMPLO 19
Resuelve 2(x − 3) = x + 1.
2(x − 3) = x + 1
2x − 6 = x + 1
x = 7
Comprobación: 2(7 − 3) = 7 + 1 = 8
Distribuimos el 2 a los dos términos. Después restamos x y sumamos 6 en ambos lados.
EJEMPLO 20
Resuelve x/3 + 1/2 = 5/6.
x/3 + 1/2 = 5/6
6(x/3 + 1/2) = 6(5/6)
2x + 3 = 5
x = 1
Comprobación: 1/3 + 1/2 = 2/6 + 3/6 = 5/6
Multiplicamos todos los términos por 6, el mínimo común múltiplo de los denominadores. Es una multiplicación por una constante no nula.
EJEMPLO 21
Resuelve −2x + 3 = 11.
−2x + 3 = 11
−2x = 8
x = 8/(−2) = −4
Comprobación: −2·(−4) + 3 = 8 + 3 = 11
Dividir ambos lados por −2 conserva la igualdad. Un coeficiente negativo no obliga a que el término completo sea negativo.
EJEMPLO 22
Resuelve 0,4x + 1,2 = 2,8.
0,4x + 1,2 = 2,8
4x + 12 = 28
4x = 16
x = 4
Comprobación: 0,4·4 + 1,2 = 1,6 + 1,2 = 2,8
Multiplicamos todos los términos por 10. Las comas son separadores decimales y los valores de este ejercicio son exactos.
EJEMPLO 23
Resuelve 2(x + 1) = 2x + 5.
2x + 2 = 2x + 5
2 = 5
Conjunto solución: ∅
Al restar 2x queda una afirmación falsa. Como las transformaciones son equivalentes, ningún valor real de x satisface la ecuación.
EJEMPLO 24
Resuelve 3(x − 2) = 3x − 6.
3x − 6 = 3x − 6
0 = 0
Conjunto solución: todos los números reales
Ambos miembros son la misma expresión tras distribuir. La igualdad es verdadera para cualquier x real; no significa que la única solución sea cero.
EJEMPLO 25
Resuelve x² = 9 en los reales.
x2 = 9
x = 3 o x = −3
Comprobación: 32 = 9 y (−3)2 = 9
Ambos números tienen cuadrado 9. La raíz cuadrada principal √9 es 3, pero resolver la ecuación exige incluir también −3.
EJEMPLO 26
Resuelve x² − 5x + 6 = 0.
x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0
x = 2 o x = 3
Con x = 2: 4 − 10 + 6 = 0
Con x = 3: 9 − 15 + 6 = 0
Un producto es cero si al menos uno de sus factores es cero. Resolver los dos factores agota las posibilidades de esta factorización.
EJEMPLO 27
Resuelve x(x − 4) = 0.
x(x − 4) = 0
x = 0 o x − 4 = 0
Soluciones: x = 0 y x = 4
Comprobación: 0(0 − 4) = 0; 4(4 − 4) = 0
Dividir directamente entre x eliminaría el caso x = 0. Separa los casos o usa la propiedad del producto nulo.
EJEMPLO 28
Resuelve (x² − 1)/(x − 1) = 0.
(x2 − 1)/(x − 1) = 0
x2 − 1 = 0 → x = −1 o x = 1
Se excluye x = 1. Solución: x = −1
Comprobación: ((−1)2 − 1)/(−1 − 1) = 0/(−2) = 0
Condición: x ≠ 1.
Multiplicar por x − 1 es válido dentro del dominio x ≠ 1. Una raíz del numerador que anula también el denominador no es solución de la ecuación original.
EJEMPLO 29
Resuelve √(x + 2) = x.
√(x + 2) = x
x + 2 = x2
x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) = 0
Candidatos: x = 2 y x = −1
x = 2: √4 = 2. Sí cumple.
x = −1: √1 = 1 ≠ −1. Se descarta.
Condición: Para que exista la raíz, x ≥ -2; para la igualdad original, además x ≥ 0.
La raíz principal es no negativa, así que el miembro derecho exige x ≥ 0. Elevar al cuadrado puede introducir candidatos que no cumplen la ecuación original; aquí solo queda x = 2.
EJEMPLO 30
Resuelve según los valores reales de a y b.
Si a ≠ 0: x = b/a
Si a = 0 y b = 0: cualquier x real
Si a = 0 y b ≠ 0: no hay solución
Condición: a y b son parámetros reales conocidos en cada caso.
Solo se divide entre a después de saber que no es cero. Cuando a = 0, el miembro izquierdo vale cero para cualquier x. Esta separación explica los tres resultados posibles de una ecuación lineal.
EJEMPLO 31
Un triángulo tiene área de 24 cm² y base de 8 cm. Calcula su altura.
A = (b·h)/2
2A = b·h → h = 2A/b
h = (2 · 24 cm2)/(8 cm) = 6 cm
Comprobación: (8 cm · 6 cm)/2 = 24 cm2
Condición: A > 0, b > 0; altura perpendicular a la base.
La incógnita depende de los datos disponibles: ahora se busca h y se conocen A y b. La unidad cm² dividida entre cm da cm.
EJEMPLO 32
Resuelve (x − 2)² = 0.
(x − 2)2 = 0
x − 2 = 0 → x = 2
Comprobación: (2 − 2)2 = 0
Ambos factores son x − 2, por lo que dan la misma raíz. Se dice que 2 es una raíz doble, pero el conjunto solución tiene un solo elemento.
EJEMPLO 33
Resuelve x² + 1 = 0 en los números reales.
x2 = −1
Para todo x real: x2 ≥ 0
Conjunto solución real: ∅
Condición: x real.
Ningún cuadrado real es negativo. La indicación «en los reales» importa: este resultado no describe lo que ocurre al ampliar a números complejos.