18 ejemplos de la función de valor absoluto

|5| = 5; |−5| = 5

|1| = 1; |4| = 4

|−2| = 2; |−6| = 6

5 está cinco unidades a la derecha de cero y −5, cinco a la izquierda. La dirección cambia, pero la distancia es la misma. Una unidad de la recta siempre representa la misma longitud; eso no significa que todos los pares de números estén a igual distancia.

|1/2| = 1/2

Como 1/2 es positivo, su valor absoluto es el mismo número. El valor absoluto no redondea ni convierte una fracción en entero.

|−1/2| = −(−1/2) = 1/2

La expresión interior es negativa; su opuesto es positivo. Los paréntesis dejan claro que se cambia el signo de toda la fracción.

|−25| = −(−25) = 25

El signo menos exterior representa el opuesto. No se conserva el signo negativo de −25, porque el resultado mide una distancia.

|0| = 0

|−2,75| = 2,75

|2,75| = 2,75

El valor absoluto siempre es no negativo, pero no siempre es positivo: vale cero exactamente cuando la entrada es cero. La coma de estos ejemplos es decimal.

f: R → R; f(x) = |x|

Si x < 0: f(x) = −x

Si x ≥ 0: f(x) = x

Tabla (x; f(x)): (−2; 2), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 2)

Vértice: (0, 0); eje de simetría: x = 0

Dominio: R; imagen: [0, ∞)

La gráfica tiene forma de V: las dos ramas se unen en (0, 0). Decrece hasta cero y crece después. La tabla es una muestra; el dominio incluye todos los reales. Con codominio R no es sobreyectiva y tampoco es inyectiva, porque f(−1) = f(1).

g: R → R; g(x) = |x − 3|

Si x < 3: g(x) = −(x − 3) = 3 − x

Si x ≥ 3: g(x) = x − 3

Tabla (x; g(x)): (1; 2), (2; 1), (3; 0), (4; 1), (5; 2)

Vértice: (3, 0); eje de simetría: x = 3

Dominio: R; imagen: [0, ∞)

Las ramas cambian donde x − 3 = 0, es decir, en x = 3. El desplazamiento es tres unidades a la derecha. Para quitar las barras importa el signo de x − 3, no solamente el signo de x.

h: R → R; h(x) = −2|x + 1| + 4

Si x < −1: h(x) = 2x + 6

Si x ≥ −1: h(x) = −2x + 2

Tabla (x; h(x)): (−3; 0), (−2; 2), (−1; 4), (0; 2), (1; 0)

Vértice: (−1, 4); eje de simetría: x = −1

Dominio: R; imagen: (−∞, 4]

x + 1 mueve el vértice una unidad a la izquierda; el factor −2 refleja la V hacia abajo y duplica su inclinación; +4 la eleva cuatro unidades. El máximo es 4. Aunque |x + 1| nunca sea negativo, h sí puede serlo: h(2) = −2.

Si x ≤ −2 o x ≥ 2: p(x) = x² − 4

Si −2 < x < 2: p(x) = 4 − x²

p(−3) = |9 − 4| = 5

p(1) = |1 − 4| = 3

p(−2) = p(2) = 0

Dominio: R; imagen: [0, ∞)

Factorizamos x² − 4 = (x − 2)(x + 2). El producto es no negativo fuera del intervalo (−2, 2) y negativo dentro. La función tiene valor cero en ambos extremos. Su imagen contiene todo y ≥ 0: basta elegir x = √(y + 4).

|3 + (−5)| = |−2| = 2

|3| + |−5| = 3 + 5 = 8

2 ≠ 8

Regla válida: |a + b| ≤ |a| + |b|

Condición: a y b reales.

Los sumandos de signos opuestos pueden compensarse. La desigualdad triangular expresa que el valor absoluto de la suma no supera la suma de los valores absolutos. También puede haber igualdad: |3 + 5| = |3| + |5| = 8.

|(−3)·(−4)| = |12| = 12

|−3|·|−4| = 3·4 = 12

Regla: |ab| = |a|·|b|

Condición: a y b reales.

El signo del producto depende de los factores, pero su magnitud es el producto de sus magnitudes. La propiedad también vale si alguno es cero.

|(−6)/4| = |−3/2| = 3/2

|−6|/|4| = 6/4 = 3/2

Regla: |a/b| = |a|/|b|

Condición: a y b reales; b ≠ 0.

Si b ≠ 0, también |b| ≠ 0. Así se puede dividir. Ningún valor absoluto convierte una división entre cero en una operación válida.

2x − 3 = 5 o 2x − 3 = −5

Primer caso: 2x = 8 → x = 4

Segundo caso: 2x = −2 → x = −1

Soluciones: {−1, 4}

Comprobación: |2·4 − 3| = 5

Comprobación: |2·(−1) − 3| = |−5| = 5

Si el valor absoluto de una expresión es 5, esa expresión puede valer 5 o −5. Ambos casos son necesarios y suficientes; quedarse con uno pierde una solución.

|x + 4| = 0 → x + 4 = 0 → x = −4

Comprobación: |−4 + 4| = 0

|x − 2| = −3 no tiene solución real

Su conjunto solución es ∅

Un valor absoluto es cero solo si la expresión interior es cero. Nunca es negativo, por lo que en la segunda ecuación no se deben abrir dos casos como si el segundo miembro fuera positivo.

−3 ≤ x − 2 ≤ 3

Sumamos 2 en los tres miembros:

−1 ≤ x ≤ 5

Solución: [−1, 5]

Extremos: |−1 − 2| = 3; |5 − 2| = 3

Condición: La regla |u| ≤ a equivale a -a ≤ u ≤ a; para a < 0 ambos conjuntos son vacíos.

La distancia entre x y 2 no debe superar 3. Se incluyen los extremos por el signo ≤. Con |x − 2| < 3, la solución sería (−1, 5), sin los extremos.

2x + 1 < −5 o 2x + 1 > 5

x < −3 o x > 2

Solución: (−∞, −3) ∪ (2, ∞)

En x = −3 o x = 2 el valor absoluto vale 5: no se incluyen

Para estar a más de 5 unidades de cero, la expresión debe ser menor que −5 o mayor que 5. Se usa «o», no «y». Con ≥ se incluirían los extremos: (−∞, −3] ∪ [2, ∞).

L se mide en cm

|L − 10| ≤ 0,2

−0,2 ≤ L − 10 ≤ 0,2

9,8 ≤ L ≤ 10,2

Para L = 10,1: |10,1 − 10| = 0,1 ≤ 0,2

Para L = 9,7: |9,7 − 10| = 0,3 > 0,2

Condición: L ≥ 0; valores expresados en centímetros.

La tolerancia admite desviaciones por encima y por debajo de la medida nominal. La pieza de 10,1 cm cumple; la de 9,7 cm no. La longitud y la tolerancia están expresadas en la misma unidad.

Para x real: √(x²) = |x|

Si x ≥ 0: √(x²) = x

Si x < 0: √(x²) = −x

Con x = −3: √((−3)²) = √9 = 3

No es igual a x = −3 en ese caso

Condición: x real; raíz cuadrada principal.

La raíz cuadrada principal es no negativa. |x| también es no negativo y su cuadrado es x², por eso es la raíz principal de x². Escribir simplemente √(x²) = x solo es válido si se sabe que x ≥ 0.