Para sumar polinomios, reúne los términos semejantes y suma sus coeficientes. Las variables y sus exponentes se conservan: 3x² + 5x² = 8x².
Esta colección incluye una, dos y tres variables; signos negativos; fracciones; potencias ausentes y resultados que se reducen hasta una constante o cero.
Cómo se suman los polinomios
Un polinomio es una suma finita de términos con exponentes enteros no negativos en sus variables. Puede tener uno, dos, tres o más términos. Las constantes y el polinomio cero también están incluidos.
Quita los paréntesis precedidos por +, conservando el signo de cada término.
Reúne términos semejantes: deben tener exactamente las mismas variables con los mismos exponentes.
Suma los coeficientes con su signo. Las constantes se agrupan entre sí.
Reduce y ordena el resultado. Omite los términos cuyo coeficiente sea cero.
Por ejemplo, x²y y 4x²y son semejantes; x²y y xy² no lo son. En una variable, ordenar de mayor a menor potencia ayuda a leer la suma. Con varias variables, no hace falta un orden único para obtener el mismo resultado.
El punto · indica multiplicación. Al copiar se usa * para multiplicar y ^ para los exponentes; cada desarrollo incluye su explicación.
Ejemplos resueltos con una o varias variables
EJEMPLO 01
Agrupar y cancelar términos semejantes
(x3+ 2 · x2+ x+ 8)+ (4 · x3− x2− x− 2)
=x3+ 2 · x2+ x+ 8+ 4 · x3− x2− x− 2
=(x3+ 4 · x3)+ (2 · x2− x2)+ (x− x)+ (8− 2)
=5 · x3+ x2+ 0+ 6
=5 · x3+ x2+ 6
Se suman los coeficientes de cada grupo: 1 + 4 = 5; 2 − 1 = 1; 1 − 1 = 0; 8 − 2 = 6. El término en x desaparece.
EJEMPLO 02
Potencias ausentes en una variable
(8 · x6+x4−2 · x3+7)+(x5+4 · x4−x3+3 · x2+1)
=8 · x6+x4−2 · x3+7+x5+4 · x4−x3+3 · x2+1
=8 · x6+x5+(x4+4 · x4)+(−2 · x3−x3)+3 · x2+1+7
=8 · x6+x5+5 · x4−3 · x3+3 · x2+8
Las potencias sin pareja se conservan. Para x⁴ se obtiene 1 + 4 = 5; para x³, −2 − 1 = −3. Las constantes suman 8.
En j²k queda 1 + 4 = 5; en jk²l, −4 − 5 = −9; en jk, 3 − 2 = 1; y en jkl, 5 + 2 = 7.
EJEMPLO 10
Reunir términos escritos en distinto orden
(−8 · x · z+7 · x−9 · y+4 · x · y)+(6 · x · y−3 · x · z+5 · y−2 · x)
=−8 · x · z+7 · x−9 · y+4 · x · y+6 · x · y−3 · x · z+5 · y−2 · x
=−8 · x · z−3 · x · z+4 · x · y+6 · x · y+7 · x−2 · x−9 · y+5 · y
=−11 · x · z+10 · x · y+5 · x−4 · y
El orden de escritura no cambia qué términos son semejantes: se agrupan xz, xy, x e y por separado.
EJEMPLO 11
Distinguir a²b de ab²
(a2 · b+a · b−a · b2+a · c−b · c)+(−3 · a2 · b−5 · a · b+6 · a · b2+4 · a · c−2 · b · c)
=a2 · b+a · b−a · b2+a · c−b · c−3 · a2 · b−5 · a · b+6 · a · b2+4 · a · c−2 · b · c
=a2 · b−3 · a2 · b+a · b−5 · a · b−a · b2+6 · a · b2+a · c+4 · a · c−b · c−2 · b · c
=−2 · a2 · b−4 · a · b+5 · a · b2+5 · a · c−3 · b · c
Aunque a²b y ab² tienen grado total 3, no se pueden reunir. Sus coeficientes finales son −2 y 5, respectivamente.
Variantes que conviene practicar
El mismo procedimiento sirve para sumas cortas, más de dos sumandos y coeficientes fraccionarios. También permite reconocer cuándo el resultado pierde términos.
EJEMPLO 12
Una suma breve de dos binomios
(3 · x+ 2)+ (5 · x− 7)
=(3+ 5) · x+ (2− 7)
=8 · x− 5
Solo se suman los coeficientes de x y las constantes. Un binomio también es un polinomio.
En x²: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. En x: −3/4 + 1/4 = −1/2. Las constantes dan −3/2. Los exponentes no cambian.
EJEMPLO 15
Sin términos semejantes entre los sumandos
(x3+ 2 · x)+ (4 · x2+ 7)
=x3+ 4 · x2+ 2 · x+ 7
Ningún término tiene pareja. Se quitan los paréntesis, se conservan los cuatro términos y se ordenan por potencia descendente.
EJEMPLO 16
Un resultado constante
(3 · x2− 2 · x+ 5)+ (−3 · x2+ 2 · x+ 4)
=(3− 3) · x2+ (−2+ 2) · x+ (5+ 4)
=9
Todos los términos con variable se cancelan. Una suma de polinomios puede dar una constante.
EJEMPLO 17
Un resultado igual a cero
(x2− 3 · x+ 2)+ (−x2+ 3 · x− 2)
=(1− 1) · x2+ (−3+ 3) · x+ (2− 2)
=0
Cada término tiene su opuesto. El resultado es el polinomio cero; no hace falta conservar sumandos con coeficiente 0.
La colocación en columnas
Cada columna reúne una potencia. Los ceros indican términos ausentes y evitan desplazar los demás.
Coeficientes de la suma del ejemplo 18
Fila
x³
x²
x
Const.
P
3
0
−2
5
+ Q
−3
4
1
−8
P + Q
0
4
−1
−3
P y Q son los dos polinomios de la primera línea del ejemplo. La última fila se lee 0x³ + 4x² − x − 3.
EJEMPLO 18
Sumar en columnas con grados ausentes
(3 · x3− 2 · x+ 5)+ (−3 · x3+ 4 · x2+ x− 8)
=(3− 3) · x3+ (0+ 4) · x2+ (−2+ 1) · x+ (5− 8)
=4 · x2− x− 3
Se alinean los términos por potencia de x, no por la posición que tenían escritos. En el primer polinomio falta x²: su coeficiente es 0. La columna x³ se cancela y el resultado baja a grado 2.
Errores frecuentes al sumar
No sumes exponentes: 3x² + 5x² = 8x², no 8x⁴. Sumar coeficientes no es multiplicar potencias.
No cambies signos por quitar un paréntesis con +: +(−4x³) sigue siendo −4x³. En el ejemplo 7, 2x³ − 4x³ = −2x³.
No juntes términos por tener el mismo grado: x²y y xy² tienen grado total 3, pero no son semejantes.
No olvides las constantes: en el ejemplo 6, −9 + 5 se reduce a −4.
Cómo comprobar el resultado
Revisa el coeficiente de cada parte literal por separado. También puedes restar del resultado uno de los sumandos: debes recuperar el otro. Para el ejemplo 12:
Recuperar el segundo sumando
(8 · x− 5)− (3 · x+ 2)
=8 · x− 5− 3 · x− 2
=5 · x− 7
Aquí sí hay un signo menos delante del paréntesis: cambia los signos de sus dos términos. Se recupera el segundo binomio de la suma.
Sustituir valores puede descubrir errores, pero una coincidencia numérica aislada no demuestra que dos polinomios sean iguales. La comprobación completa compara todos sus coeficientes.
