Ejemplos de divisibilidad por 9

18: 1 + 8 = 9; 18 / 9 = 2

27: 2 + 7 = 9; 27 / 9 = 3

En ambos casos, la suma de las cifras es 9. Los cocientes 2 y 3 son enteros, por lo que ambos números son múltiplos de 9.

189: 1 + 8 + 9 = 18

189 / 9 = 21

783: 7 + 8 + 3 = 18

783 / 9 = 87

18 = 9·2

18 es múltiplo de 9, así que los dos números son divisibles por 9. También podrías repetir el proceso: 1 + 8 = 9. Esa repetición confirma lo mismo; no cambia el criterio.

5 + 4 + 0 = 9

540 / 9 = 60

540 = 9·60

El cero aporta 0 a la suma. No importa que el número termine en 0: para este criterio debes sumar todas las cifras.

1 + 8 + 8 + 3 + 7 = 27

27 = 9·3

18 837 / 9 = 2 093

27 es otro múltiplo de 9 válido. La suma de cifras no es el cociente: el cociente de 18 837 entre 9 es 2 093, no 27.

8 + 4 + 8 + 7 = 27

27 = 9·3

8 487 = 9·943

8 487 / 9 = 943

La suma 27 es divisible por 9 y el número también. Multiplicar 943 por 9 recupera 8 487. La comprobación depende de ser múltiplo de 9.

1 + 8 + 9 + 7 + 2 + 5 + 4 = 36

36 = 9·4

1 897 254 / 9 = 210 806

No hay que detenerse solo en 9, 18 o 27: cualquier múltiplo de 9 sirve. Si no recuerdas que 36 es múltiplo de 9, suma otra vez: 3 + 6 = 9.

9 + 1 + 9 = 19

1 + 9 = 10; 1 + 0 = 1

919 = 9·102 + 1

19 no es múltiplo de 9. Al repetir la suma se llega a 1, y la división del número original deja resto 1. La presencia de dos cifras 9 no garantiza divisibilidad.

9 + 2 + 6 = 17

1 + 7 = 8

926 = 9·102 + 8

La suma 17 no es divisible por 9. El resto es 8, tanto al dividir 17 como al dividir 926 entre 9. Para este entero positivo, la cifra final 8 de la suma repetida coincide con ese resto.

999 999 999 999: doce cifras iguales a 9

12·9 = 108

1 + 0 + 8 = 9

999 999 999 999 / 9 = 111 111 111 111

108 ya es múltiplo de 9. Puedes reconocerlo directamente o repetir la suma hasta una sola cifra. No existe un requisito especial de que la primera suma sea menor que 90.

Suma de cifras de 0: 0

0 = 9·0

0 / 9 = 0

0 es divisible por 9. Para un entero positivo, la suma repetida hasta una cifra acaba en 9 si es múltiplo de 9; el número 0 acaba en 0. La cifra 9 obtenida al reducir un múltiplo positivo representa resto 0, no resto 9.

81: 8 + 1 = 9

−81 = 9·(−9)

82: 8 + 2 = 10; 1 + 0 = 1

−82 / 9 = −9 − 1/9

Condición: Se incluyen enteros negativos; el signo no se suma.

−81 es divisible por 9 porque el cociente −9 es entero. −82 no lo es: 82 no es múltiplo de 9 y cambiar el signo no lo convierte en uno. La suma del valor absoluto conserva la decisión de divisibilidad; no debe confundirse con el resto no negativo de un dividendo negativo.

81 / 9 = 9

8,1 / 9 = 0,9

81 = 9·9; 8,1 = 9·0,9

Condición: Coma decimal; criterio para enteros escritos en base diez.

81 es un entero y un múltiplo de 9. El valor 8,1 no es entero: queda fuera del criterio de divisibilidad entre enteros usado aquí. No se puede borrar la coma y aplicar la regla como si el valor no cambiara.

123: 1 + 2 + 3 = 6

123 / 3 = 41

123 = 9·13 + 6

18 / 9 = 2; 18 / 3 = 6

6 es múltiplo de 3, pero no de 9. Por eso 123 pasa el criterio del 3 y falla el del 9. Todo múltiplo de 9 es múltiplo de 3, porque 9 = 3·3; el recíproco no siempre se cumple.

18 / 9 = 2

18 / 27 = 2/3

27 / 9 = 3; 27 / 27 = 1

18 es divisible por 9, pero no por 27. La regla de sumar cifras no se traslada automáticamente a 27, aunque 27 sea múltiplo de 9. Todo múltiplo de 27 sí es múltiplo de 9.

19: 1 + 9 = 10; 19 = 9·2 + 1

72: 7 + 2 = 9; 72 = 9·8

90: 9 + 0 = 9; 90 = 9·10

19 termina en 9 y no es divisible por 9. 72 termina en 2 y sí lo es; 90 termina en 0 y también. Suma todas las cifras, cualquiera que sea la última.

4 + d + 7 = 11 + d

Con d de 0 a 9, la suma va de 11 a 20

11 + 7 = 18

477 / 9 = 53

Condición: d es una cifra entre 0 y 9.

El único múltiplo de 9 entre 11 y 20 es 18. Por tanto, d debe ser 7. La casilla representa una sola cifra, no un número de varias cifras.

5 + d + 4 = 9 + d

Con d de 0 a 9, la suma va de 9 a 18

d = 0: 504 / 9 = 56

d = 9: 594 / 9 = 66

Condición: d es una cifra entre 0 y 9.

Ahora hay dos múltiplos de 9 posibles: 9 y 18. Las dos cifras válidas son 0 y 9. Buscar solo una solución dejaría el ejercicio incompleto.

1 + 8 + 9 = 1 + 9 + 8 = 8 + 1 + 9 = 18

189 / 9 = 21

198 / 9 = 22

819 / 9 = 91

Reordenar las mismas cifras conserva su suma y, por tanto, la divisibilidad por 9. Los valores y los cocientes sí cambian. Esto explica también por qué ciertos errores de transposición no se detectan con una comprobación basada solo en el 9.

3 + 4 + 7 = 14

14 = 9 + 5

347 = 9·38 + 5

347 − 5 = 342 = 9·38

347 + 4 = 351 = 9·39

El resto es 5: resta 5 para llegar al múltiplo inferior o suma 9 − 5 = 4 para llegar al superior. 351 es el más cercano porque está a 4 unidades, frente a las 5 de 342.

23·14 = 322

3 + 2 + 2 = 7

3 + 3 + 1 = 7

331 − 322 = 9

322 y 331 dejan el mismo resto al dividir entre 9. Una comprobación que solo compare esos restos no distinguiría el resultado correcto del incorrecto. Sirve para detectar algunos fallos, pero una coincidencia no demuestra que la operación esté bien.

126 = 9·14

128 = 9·14 + 2

128 − 2 = 126

128 + 7 = 135 = 9·15

Condición: Piezas indivisibles y nueve piezas por paquete.

Con 126 piezas se forman 14 paquetes completos. Con 128, sobran 2 después de llenar esos paquetes. Quitar 2 o añadir 7 permite obtener una cantidad divisible por 9.

783 = 7·100 + 8·10 + 3

783 = 7·99 + 8·9 + (7 + 8 + 3)

783 = 765 + 18

765 = 9·85; 18 = 9·2

Condición: Escritura posicional en base diez.

Al sustituir 100 por 99 + 1 y 10 por 9 + 1, queda un múltiplo de 9 más la suma de cifras. En cualquier posición ocurre lo mismo: 10^k − 1 es múltiplo de 9 para k entero no negativo. Por eso un entero no negativo y su suma de cifras dejan el mismo resto entre 9. Para negativos, aplicar la regla al valor absoluto conserva la decisión de divisibilidad.