ARITMÉTICA · POTENCIAS DE DIEZ
La notación científica escribe un número no nulo como a · 10n, donde 1 ≤ |a| < 10 y n es entero. Por ejemplo, 34 500 = 3,45 · 104. Practica conversiones de números grandes y pequeños, normalización y operaciones con pasos explicados.
Convenciones: usamos coma decimal y espacios para agrupar miles. El coeficiente puede ser negativo; su valor absoluto debe estar entre 1 incluido y 10 excluido. El cero se trata aparte. = indica igualdad exacta y ≈, aproximación.
La colección reúne 31 bloques, incluidas las 30 conversiones de las listas originales. Los cálculos sin contexto de medición se trabajan como valores exactos; los redondeos y los modelos con unidades se identifican expresamente.
EJEMPLO 01
Escribe 34 500 en notación científica normalizada.
34 500 = 3,45·104
104 = 10·10·10·10 = 10 000
Condición: Forma a·10n: 1 ≤ |a| < 10 y n entero.
El coeficiente es 3,45; la base es 10; y el exponente es 4. La coma se sitúa después de la primera cifra no nula. Para recuperar 34 500, multiplica 3,45 por 10 000.
EJEMPLO 02
Escribe 0,000072 en notación científica.
0,000072 = 7,2·10−5
10−5 = 1/100000
El 7 ocupa la quinta posición tras la coma. Para pasar del coeficiente 7,2 al número original, desplaza la coma cinco posiciones hacia la izquierda. El exponente negativo no significa que el número sea negativo.
EJEMPLO 03
Representa −540 000 y compáralo con un exponente negativo.
−540 000 = −5,4·105
5,4·10−5 = 0,000054 > 0
El signo del coeficiente determina el signo del valor. El signo del exponente determina si la potencia de diez multiplica o divide por una potencia positiva. En la primera expresión el número es negativo; en la segunda es positivo.
EJEMPLO 04
Escribe 6,7, 1 y 10 en forma normalizada.
6,7 = 6,7·100
1 = 1·100
10 = 1·101
Como 100 = 1, un número cuyo valor absoluto está entre 1 incluido y 10 excluido usa exponente cero. El coeficiente 1 está permitido; 10 ya se normaliza cambiándolo por 1 y aumentando el exponente.
EJEMPLO 05
Decide si 0 puede cumplir la condición del coeficiente.
0·100 = 0
0·105 = 0
0 no tiene forma normalizada con 1 ≤ |a| < 10
Condición: La forma normalizada se define aquí para números no nulos.
Multiplicar cero por cualquier potencia de diez da cero. Por eso esas escrituras no permiten elegir un exponente único y el coeficiente no cumple la condición de normalización. Escribe simplemente 0.
EJEMPLO 06
Normaliza 45,6·107.
45,6·107 = 4,56·108
4,56·108 = 456 000 000
Divides el coeficiente por 10 y multiplicas la potencia por 10. Por eso el exponente aumenta de 7 a 8. Las dos expresiones representan el mismo valor, pero solo la segunda cumple 1 ≤ |a| < 10.
EJEMPLO 07
Normaliza 0,032·10−5.
0,032·10−5 = 3,2·10−7
3,2·10−7 = 0,00000032
Multiplicas el coeficiente por 100. Para compensarlo, divides la potencia por 100: el exponente baja dos unidades, de −5 a −7. Normalizar conserva el valor; no es redondear.
EJEMPLO 08
Expresa la velocidad de la luz en el vacío en metros por segundo.
c = 299 792 458 m/s
c = 2,99792458·108 m/s
c ≈ 3·108 m/s (una cifra significativa)
300 000 000 = 3·108
3 = 3,0; 3 ≠ 0
Condición: Luz en el vacío; m/s significa metros por segundo.
El valor 299 792 458 m/s es exacto en el SI. 3·108 m/s es una aproximación a una cifra significativa. La igualdad entre 300 000 000 y 3·108 sí es exacta como conversión numérica. Para visualizar el desplazamiento de la coma puedes escribir 3,0; eso no convierte 3 en 0 ni vuelve exacto un dato redondeado.
EJEMPLO 09
Distingue igualdad de valor y forma científica normalizada.
250 000 000 000 = 2,5·1011
2,5·1011 = 25·1010 = 250·109
El coeficiente 2,5 está entre 1 y 10; 25 y 250 no. Las tres igualdades conservan el valor, pero la primera es la forma normalizada.
EJEMPLO 10
Distingue igualdad de valor y forma científica normalizada.
4 832 000 000 000 000 = 4,832·1015
4,832·1015 = 48,32·1014 = 483,2·1013
Al multiplicar el coeficiente por diez, reduce el exponente una unidad. En español, un billón es un millón de millones; aquí conservamos el entero completo para evitar ambigüedad.
EJEMPLO 11
Distingue igualdad de valor y forma científica normalizada.
0,0000000001 = 1·10−10
1·10−10 = 0,1·10−9 = 0,01·10−8
Las expresiones con 0,1 y 0,01 son equivalentes, pero sus coeficientes son menores que 1. La forma normalizada es 1·10−10. Hay nueve ceros entre la coma y el 1.
EJEMPLO 12
Distingue igualdad de valor y forma científica normalizada.
0,000001 = 1·10−6
1·10−6 = 0,1·10−5 = 0,01·10−4
El número es positivo. El exponente −6 indica que se divide entre un millón. 0,1·10−5 y 0,01·10−4 tienen el mismo valor, aunque no están normalizadas.
EJEMPLO 13
Convierte estas cinco cantidades y comprueba la normalización.
= 1·103
= 2·104
= 3·105
= 4·106
= 5·107
Cada fila conserva el entero original. Comprueba el resultado multiplicando el coeficiente por la potencia de diez. Cuenta posiciones, no solo ceros finales.
EJEMPLO 14
Convierte estas cinco cantidades y comprueba la normalización.
= 6,5·108
= 7,6·109
= 8,7·1010
= 9,8·1011
= 1,9·1012
Cada fila conserva el entero original. Comprueba el resultado multiplicando el coeficiente por la potencia de diez. Cuenta posiciones, no solo ceros finales.
EJEMPLO 15
Convierte estas cinco cantidades y comprueba la normalización.
= 1,23·1013
= 2,34·1014
= 3,45·1015
= 4,56·1016
= 5,67·1017
Cada fila conserva el entero original. Comprueba el resultado multiplicando el coeficiente por la potencia de diez. Cuenta posiciones, no solo ceros finales.
EJEMPLO 16
Convierte estas cinco cantidades y comprueba la normalización.
= 1·10−3
= 2·10−4
= 3·10−5
= 4·10−6
= 5·10−7
El coeficiente y el exponente determinan exactamente dónde va la coma. Conserva todos los ceros entre la coma y la primera cifra no nula.
EJEMPLO 17
Convierte estas cinco cantidades y comprueba la normalización.
= 1,2·10−8
= 2,3·10−9
= 3,4·10−10
= 4,5·10−11
= 5,6·10−12
El coeficiente y el exponente determinan exactamente dónde va la coma. Conserva todos los ceros entre la coma y la primera cifra no nula.
EJEMPLO 18
Convierte estas cinco cantidades y comprueba la normalización.
= 67·10−13 = 6,7·10−12
= 78·10−14 = 7,8·10−13
= 89·10−15 = 8,9·10−14
= 19·10−16 = 1,9·10−15
= 44·10−17 = 4,4·10−16
Los coeficientes 67, 78, 89, 19 y 44 superan diez. Se conservan los productos originales y se añade su forma normalizada, dividiendo cada coeficiente por diez y aumentando el exponente una unidad.
EJEMPLO 19
Calcula (2,4·105)·(3·10−3).
(2,4·3)·105−3
7,2·102 = 720
Multiplica los coeficientes y suma los exponentes: 5 + (−3) = 2. El coeficiente 7,2 ya está normalizado.
EJEMPLO 20
Calcula (6·104)·(4·103).
(6·4)·104+3 = 24·107
24·107 = 2,4·108
Después de multiplicar, el coeficiente 24 no cumple la condición. Divídelo entre diez y aumenta el exponente de 7 a 8. No cambies solo el coeficiente, porque alterarías el valor.
EJEMPLO 21
Calcula (8,4·107)/(2,1·103).
(8,4/2,1)·107−3
4·104 = 40 000
Condición: Divisor distinto de cero.
Divide los coeficientes y resta el exponente del denominador al del numerador. No dividas los exponentes: 7 − 3 = 4.
EJEMPLO 22
Calcula (2·10−5)/(8·102).
(2/8)·10−5−2 = 0,25·10−7
0,25·10−7 = 2,5·10−8
Condición: Divisor distinto de cero.
La resta de exponentes da −7. Como 0,25 es menor que 1, multiplícalo por diez y reduce el exponente a −8. El valor final es 0,000000025.
EJEMPLO 23
Suma 3,2·105 y 4,5·104.
4,5·104 = 0,45·105
(3,2 + 0,45)·105 = 3,65·105
Expresa ambos sumandos con la misma potencia antes de sumar coeficientes. En una suma no se suman exponentes: esa regla pertenece al producto de potencias de igual base.
EJEMPLO 24
Calcula 1,2·10−3 − 8·10−4.
8·10−4 = 0,8·10−3
(1,2 − 0,8)·10−3 = 0,4·10−3
0,4·10−3 = 4·10−4
Primero iguala las potencias; después resta los coeficientes y normaliza. La comprobación decimal es 0,0012 − 0,0008 = 0,0004.
EJEMPLO 25
Resuelve estas dos restas.
2·103 − 5·103 = −3·103
5·10−4 − 5·10−4 = 0
El primer resultado es negativo y sigue normalizado porque |−3| = 3. En el segundo, los términos se cancelan: escribe 0, sin forzar un coeficiente entre 1 y 10.
EJEMPLO 26
Calcula (3·10−2)2.
(3·10−2)2 = 32·10−4
9·10−4 = 0,0009
Eleva el coeficiente al cuadrado y multiplica el exponente de diez por 2. Los paréntesis indican que se eleva todo el producto.
EJEMPLO 27
Un rectángulo ideal mide 2·103 m por 3·102 m. Calcula su área.
A = (2·103 m)·(3·102 m)
A = 6·105 m2 = 600 000 m2
Condición: Rectángulo ideal; longitudes positivas y exactas en el ejercicio.
Multiplica los valores y también las unidades: m por m da m2. El resultado no se expresa en metros lineales. Los datos son exactos dentro de este ejercicio ideal.
EJEMPLO 28
En un modelo, un móvil recorre 6·106 m en 2·103 s. Calcula su rapidez media.
v = (6·106 m)/(2·103 s)
v = 3·103 m/s = 3000 m/s
Condición: Distancia y tiempo exactos en este modelo; tiempo positivo.
Divide distancia entre tiempo: las unidades resultantes son metros por segundo. El tiempo es positivo y no nulo. Son datos de un ejercicio, no una afirmación sobre un vehículo real.
EJEMPLO 29
Redondea 9,996·105 y 0,000123456 a tres cifras significativas.
9,996·105 ≈ 1,00·106
0,000123456 ≈ 1,23·10−4
Condición: Tres cifras significativas; se redondea al valor más próximo.
En el primer caso, el redondeo produce una llevada y obliga a aumentar el exponente. Los dos ceros de 1,00 indican tres cifras significativas. En el segundo, los ceros previos al 1 solo sitúan la coma: se conservan 1, 2 y 3. El símbolo ≈ distingue el redondeo de una conversión exacta.
EJEMPLO 30
Interpreta 4.2E−6 en una pantalla que utiliza punto decimal.
4.2E−6 significa 4,2·10−6
4,2·10−6 = 0,0000042
E introduce el exponente de diez. Cambiar el formato de pantalla no garantiza que el dispositivo guarde todos los dígitos exactos: la precisión depende del equipo, del tipo numérico y del cálculo. Conserva cifras de trabajo y redondea al final según lo que necesites comunicar.
EJEMPLO 31
Ordena 9·104 y 1,1·105; después compara sus opuestos.
9·104 = 90 000 < 110 000 = 1,1·105
−1,1·105 < −9·104
Para cantidades positivas normalizadas, el exponente mayor determina el número mayor; si coinciden los exponentes, compara coeficientes. Entre sus opuestos se invierte el orden: el de mayor valor absoluto es el menor.
OpenStax: exponentes enteros y notación científica, para potencias, conversiones y operaciones. NIST: velocidad de la luz en el vacío, para el valor exacto en el SI.