Ejemplos de números irracionales

Supón √2 = p/q, con p/q irreducible

p² = 2q²: p debe ser par

Si p = 2k, entonces q² = 2k²: q también es par

Contradicción: p y q tendrían el factor común 2

Condición: p y q enteros; q ≠ 0; fracción reducida.

El cuadrado de un entero impar es impar. Por eso p² par obliga a p par, y lo mismo ocurre con q. La contradicción demuestra que √2 es irracional; sus cifras en una calculadora no son la demostración.

1² < 3 < 2²: √3 es irracional

2² < 5 < 3²: √5 es irracional

2² < 7 < 3²: √7 es irracional

Condición: n entero no negativo; raíz cuadrada principal.

La raíz cuadrada de un entero no negativo es racional solo si ese entero es un cuadrado perfecto. En efecto, si √n = p/q en forma reducida con q > 0, p² = nq² obliga a q = 1: cualquier primo que dividiera q dividiría también p. Entonces n = p².

√8 = √(4·2) = 2√2

√12 = √(4·3) = 2√3

√18 = √(9·2) = 3√2

Condición: Radicandos no negativos.

Las tres respuestas siguen siendo irracionales. Multiplicar un irracional por un racional distinto de cero conserva la irracionalidad: si el producto fuera racional, al dividirlo por ese factor el irracional también lo sería.

√0 = 0; √1 = 1

√9 = 3; √49 = 7

Estos radicandos son cuadrados perfectos. Los resultados son enteros y, por tanto, racionales. Un símbolo de raíz no garantiza que el valor sea irracional.

√(1/2) = √2/2: irracional

√(4/9) = 2/3: racional

Condición: Raíces principales de números positivos.

La primera tiene el mismo cuadrado y el mismo signo positivo que √2/2. La segunda es racional porque (2/3)² = 4/9. La regla del cuadrado perfecto para enteros no se debe aplicar sin más a un radicando fraccionario.

∛2 es irracional

∛8 = 2: racional

∛(−2) = −∛2: irracional

Si ∛2 = p/q fuera una fracción reducida con q > 0, p³ = 2q³ forzaría q = 1. Pero ningún entero tiene cubo 2, pues 1³ < 2 < 2³. Las raíces cúbicas de números negativos sí son reales.

√2 > 0; −√2 < 0

√((−√2)²) = √2

√(−2) no es un número real

El opuesto de un irracional es irracional. En cambio, √(−2) no pertenece a los reales, por lo que no se clasifica como racional o irracional. La raíz cuadrada principal es no negativa; en general, √(x²) = |x| para x real.

π ≈ 3,1416

3,14 = 157/50: racional

22/7 = 3,(142857): racional; 22/7 ≠ π

Condición: Aproximación de π redondeada a cuatro decimales.

π es la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro en geometría euclídea. Su irracionalidad es un resultado demostrado, no una conclusión sacada de unas pocas cifras. 3,14 y 22/7 son aproximaciones, no valores exactos de π. Aquí los paréntesis indican el período decimal.

e ≈ 2,7183

ln(e) = 1

ln(1) = 0; log₁₀(10) = 1

Condición: Aproximación redondeada a cuatro decimales.

e es irracional; se usa como base de ln y de funciones exponenciales. ln no es el logaritmo en base 10. Citamos la irracionalidad de e como un resultado conocido: el decimal mostrado solo es una aproximación.

φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,6180

φ² = φ + 1

(φ + 1)/φ = φ

Condición: φ es la raíz positiva de x² − x − 1 = 0.

Como √5 es irracional, (1 + √5)/2 también lo es. Si dos segmentos positivos miden φ y 1, la razón del total al mayor coincide con la del mayor al menor. Esta es la proporción áurea; no implica que aparezca en todo objeto natural o artístico.

0,125 = 1/8: racional

0,(3) = 1/3: racional

0,1(6) = 1/6: racional

Condición: Los paréntesis indican cifras que se repiten indefinidamente.

Un racional tiene desarrollo decimal finito o eventualmente periódico. Un irracional tiene infinitas cifras sin un bloque que se repita para siempre a partir de algún punto. Las cifras individuales sí pueden repetirse: solo hay diez dígitos.

0,(123456) = 123456/999999: racional

0,123456 + √2/10¹²: irracional

Ambos números empiezan por esas seis cifras decimales. El segundo suma a un racional un irracional positivo menor que una millonésima. Por tanto, ver cifras sin un patrón evidente y puntos suspensivos no demuestra irracionalidad; hace falta definir el número.

x = 0,101001000100001…

Entre los unos hay 1, 2, 3, 4, … ceros

Condición: La regla se prolonga indefinidamente; no basta con el prefijo mostrado.

Hay infinitos unos y separaciones cada vez mayores. Si desde algún punto hubiera un período de longitud L con algún 1, no podría haber bloques de ceros arbitrariamente largos. Si el período solo tuviera ceros, dejaría de haber unos. Ambas posibilidades contradicen la regla: x es irracional.

3 + √2: irracional

√2 − 3: irracional

Si 3 + √2 fuera racional, al restarle 3 obtendríamos √2 racional, contradicción. El mismo argumento funciona para √2 − 3. En general, racional más irracional siempre es irracional.

2√2: irracional

√2/2: irracional

0·√2 = 0: racional

Condición: El factor racional debe ser distinto de cero para conservar la irracionalidad.

El producto de un irracional por un racional no nulo es irracional. Si fuera racional, dividir por el factor recuperaría un racional. El cero es una excepción esencial. Dividir por cero nunca está definido.

√2 + (−√2) = 0: racional

√2 + √2 = 2√2: irracional

No existe una regla que diga que sumar dos irracionales siempre da otro irracional. Tampoco que siempre da un racional. Hay que analizar la expresión concreta.

√2·√2 = 2: racional

√2·√3 = √6: irracional

√8/√2 = 2: racional

√3/√2 = √6/2: irracional

Condición: Reglas de raíces cuadradas aplicadas a radicandos positivos.

Los resultados pueden ser racionales o irracionales. 6 no es un cuadrado perfecto, por lo que √6 es irracional; dividirlo por 2 no cambia esa condición. Todos los divisores escritos aquí son no nulos.

(√2)² = 2: racional

√(√2): irracional

Condición: Se usa la raíz cuadrada principal.

Elevar un irracional al cuadrado puede producir un racional. En cambio, si √(√2) fuera racional, su cuadrado también lo sería; pero ese cuadrado es √2. Esa contradicción prueba el segundo caso.

1/(√2 + 1) = (√2 − 1)/((√2 + 1)·(√2 − 1))

= (√2 − 1)/(2 − 1) = √2 − 1

Condición: √2 − 1 ≠ 0.

Multiplicamos por (√2 − 1)/(√2 − 1), que vale 1. El denominador queda racional, pero el valor completo sigue siendo irracional. Racionalizar el denominador cambia la escritura, no el número.

1,4142² = 1,99996164 < 2

1,41425² = 2,0001030625 > 2

1,4142 < √2 < 1,41425

√2 ≈ 1,4142; error absoluto < 0,00005

Condición: Redondeo a cuatro cifras decimales.

El cuadrado crece entre números positivos. Las dos comparaciones sitúan √2 por debajo del punto medio entre 1,4142 y 1,4143, así que redondea a 1,4142. El decimal finito es racional; el valor exacto √2 sigue siendo irracional.

A = π·r²

A = π·3² = 9π cm²

A ≈ 28,2743 cm²

Condición: Radio en centímetros; resultado decimal redondeado a cuatro cifras.

El valor numérico exacto del área, expresada en cm², es 9π, irracional. Si sustituyeras π por 3,14 al principio obtendrías 28,26 cm². Mantener π hasta el final evita ese redondeo prematuro.

L = π·d = 10π cm

L ≈ 31,4159 cm

L/d = π

Condición: Geometría euclídea; redondeo a cuatro decimales.

La razón entre longitud y diámetro es π, no 3,14 exacto. El dibujo muestra un diámetro que atraviesa el centro. El valor numérico 10π es irracional y la aproximación decimal es racional.

V = π·r²·h

V = π·2²·5 = 20π cm³

V ≈ 62,8319 cm³

Condición: Cilindro recto; radio y altura positivos en centímetros.

El volumen es el área de la base por la altura. Las dimensiones interiores describen la capacidad geométrica del recipiente. La fórmula sola no determina otras propiedades del material ni del líquido que contenga.

V = (4/3)·π·r³

V = (4/3)·π·3³ = 36π cm³

V ≈ 113,0973 cm³

Condición: Radio positivo en centímetros; redondeo a cuatro decimales.

El factor 4/3 es imprescindible. Usar solo πr³ produciría 27π cm³ para este radio, un volumen incorrecto. La fórmula da el volumen geométrico, no todas las propiedades físicas de un cuerpo.

d² = 1² + 1² = 2

d = √2 m ≈ 1,4142 m

Condición: Cuadrado euclídeo; longitudes en metros.

La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 1 m. Se elige la raíz positiva porque es una longitud. Así aparece un irracional en una medida geométrica sencilla.

N(t) = 100e^t: N(1) = 100e ≈ 271,8282

M(t) = 100e^−t: M(1) = 100/e ≈ 36,7879

y = (a/2)·(e^x/a + e^−x/a): y(0) = a

Condición: a > 0; x e y con la misma unidad que a; exponentes sin dimensiones.

Los dos primeros modelos ilustran crecimiento y decaimiento; t es una variable de tiempo normalizada, sin unidades. e es la base, no una tasa universal. En el modelo ideal de una cadena flexible uniforme suspendida, la catenaria usa un parámetro positivo a: en x = 0 los dos exponenciales valen 1. Que una fórmula contenga e no obliga a que cada resultado sea irracional.

√2, 1 + √2, 2 + √2, 3 + √2, …

n + √2 es irracional para todo entero n ≥ 0

Todos son distintos. Si n + √2 fuera racional, restar el entero n haría racional a √2. Por tanto, esta familia ya demuestra que hay infinitos irracionales. Su conjunto puede escribirse R \ Q: los reales que no son racionales.

0, −4 y 1/3: racionales

√25 = 5 y π/π = 1: racionales

−√3 y (1 + √5)/2: irracionales

1/0: no definido; √(−1): no real

Condición: En π/π el divisor es distinto de cero.

Los racionales y los irracionales son clases de números reales. Una expresión no definida o un número no real no pertenece a ninguna de esas dos clases. Un radical o un símbolo como π puede cancelarse: importa el valor final.