Ejemplos de números reales

7 ∈ N; 7 ∈ Z; 7 ∈ Q; 7 ∈ R

7 = 7/1

Condición: En este artículo N = {1, 2, 3, …}.

7 es natural, entero, racional y real. Estas etiquetas no son excluyentes: un conjunto está incluido en otro. Nombra todos los conjuntos que correspondan, no solo uno.

0 ∈ Z; 0 ∈ Q; 0 ∈ R

0 = 0/1

Aquí 0 ∉ N

Condición: Convención de naturales sin cero explícita.

Usamos N = {1, 2, 3, …}. Algunos textos incluyen el cero entre los naturales: con esa otra convención, 0 sí pertenece a N. En ambas convenciones es entero, racional y real; no es positivo ni negativo.

−4 ∉ N; −4 ∈ Z; −4 ∈ Q; −4 ∈ R

−4 = (−4)/1

Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}

Los puntos suspensivos a ambos lados indican que los enteros continúan en las dos direcciones. El signo negativo no excluye al número de los reales.

3/4 = 0,75

−1,25 = −5/4

0,(3) = 1/3

Los tres son racionales y reales, aunque no son enteros. Un decimal finito y uno periódico pueden escribirse como cocientes de enteros con denominador no nulo. En 0,(3), el 3 se repite indefinidamente.

√2 ∈ R y √2 ∉ Q

π ∈ R y π ∉ Q

e ∈ R y e ∉ Q

Son reales que no pueden escribirse como cociente de dos enteros con denominador distinto de cero. Su decimal es infinito y no eventualmente periódico. No se decide por tener muchas cifras visibles: una calculadora muestra solo una aproximación.

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

R = Q ∪ (R \ Q)

Q ∩ (R \ Q) = ∅

R contiene los racionales y los irracionales. Todo real pertenece exactamente a una de esas dos clases. Los enteros están dentro de los racionales; los irracionales no están dentro de Q. El símbolo ⊂ indica inclusión estricta y ∅ significa conjunto vacío.

i² = −1; i ∉ R

2 + 3i ∉ R

5/0 y 0/0 no están definidos

Condición: i es la unidad imaginaria.

No hay un real cuyo cuadrado sea −1. Los complejos permiten trabajar con i y con números como 2 + 3i. En cambio, dividir entre cero no se vuelve válido al pasar a los complejos. Los reales no son el mayor conjunto en el que se puede operar.

−2 < −1/2 < 0 < √2

−1/2 = −0,5

1 < √2 < 2

A la derecha están los valores mayores. Los racionales y los irracionales ocupan puntos de la misma recta real. La posición de √2 en el dibujo es aproximada; el símbolo representa su valor exacto.

−1,01 < −1 < 0 < 1 < 1,01

−1,01 = −101/100; 1,01 = 101/100

Entre negativos, el de mayor valor absoluto es menor: −1,01 queda a la izquierda de −1. Estos cinco valores son ejemplos de reales; escribir puntos suspensivos entre algunos números no enumera todos los reales.

|−2,5| = 2,5

Distancia = |1,5 − (−2)| = |3,5| = 3,5

El valor absoluto mide distancia al cero, por eso nunca es negativo. La distancia entre dos puntos reales a y b es |b − a|; el orden elegido no cambia el resultado.

x − 1 < x < x + 1, para todo x real

(0,5 + 0,6)/2 = 0,55

0,5 < 0,55 < 0,6

No existe un real máximo ni mínimo. Entre a < b, su media (a+b)/2 es otro real: no hay sucesor inmediato en R. Los símbolos −∞ y +∞ indican una dirección sin cota; no son números reales ni extremos que se alcancen.

−2 ≤ x ≤ 3 ⇔ x ∈ [−2; 3]

−2, 0, √2 y 3 pertenecen al intervalo

−2,1 y 3,1 no pertenecen

Condición: Variable x real.

Los corchetes incluyen los extremos. Un intervalo contiene todos los reales que cumplen la desigualdad, no solo los enteros. Usamos punto y coma entre extremos para evitar confundirlo con la coma decimal.

−2 < x < 3 ⇔ x ∈ (−2; 3)

−2 y 3 no pertenecen

0 y √2 sí pertenecen

Condición: Variable x real.

Los paréntesis excluyen los extremos. En el dibujo, un círculo vacío significa que ese punto no se incluye; la parte interior sigue conteniendo infinitos reales.

x ∈ [−2; 3)

−2 pertenece; 3 no pertenece

2,999 pertenece, pero no es el mayor valor

Condición: Variable x real.

El corchete de la izquierda incluye −2 y el paréntesis de la derecha excluye 3. No hay máximo: para cualquier x menor que 3 dentro del intervalo, (x+3)/2 está más cerca de 3 y también pertenece.

x > 1 ⇔ x ∈ (1; +∞)

x ≤ 1 ⇔ x ∈ (−∞; 1]

R = (−∞; +∞)

Condición: Variable x real.

Junto a ±∞ siempre se escribe paréntesis, porque el infinito no es un punto real que pueda incluirse. x > 1 excluye el 1; x ≤ 1 lo incluye.

[−2; 1] ∪ (1; 3] = [−2; 3]

[−2; 2] ∩ [1; 4] = [1; 2]

(−2; 1) ∪ (1; 3) no contiene el 1

En la primera unión, el 1 pertenece al primer intervalo, así que no queda un hueco. La intersección contiene solo lo común. En la última unión, ninguno de los dos intervalos incluye el 1: no se puede sustituir por (−2; 3).

2 + 3,5 = 5,5

1,3 + 2,4 = 3,7

8,6 + 2,1 = 10,7

5,56 + 8 = 13,56

10 + 4 = 14

Alinea las comas decimales y suma por posiciones. Los enteros también pueden escribirse con decimales: 2 = 2,0.

52 − 15 = 37

2 − 13 = −11

(−10) − 15 = −25

4 − 12,5 = −8,5

9,1 − 25,3 = −16,2

Restar puede producir resultados negativos. Conserva el orden de los operandos: 2 − 13 no vale lo mismo que 13 − 2.

2,5 · 2 = 5,0

14,3 · 3 = 42,9

8 · 1,1 = 8,8

9,2 · (−4) = −36,8

−2,3 · −5,2 = 11,96

Multiplica los valores absolutos y aplica la regla de los signos. En 14,3 por 3, calcula 14 por 3 y 0,3 por 3: 42 + 0,9 = 42,9.

−2 / −4 = 0,5

−5,5 / 1,1 = −5

6 / 3 = 2

16 / −8 = −2

−9 / 4,5 = −2

Condición: Divisor distinto de cero.

Signos iguales producen cociente positivo; signos distintos, negativo. Los cinco divisores son no nulos y estos resultados son exactos.

√2 + √2 = 2√2

(√2)² = 2

3π − π = 2π

1 + √2 es un real irracional

No es obligatorio convertir un irracional a decimal para operar. Usa el valor exacto mientras sea posible. Suma, resta y producto de reales dan reales; eso no obliga a conservar la clase racional o irracional del resultado.

x − 2 ≠ 0: x ≠ 2

Dominio: (−∞; 2) ∪ (2; +∞)

f(3) = (3 + 1)/(3 − 2) = 4

f(2) no está definido

Condición: Variable x real; x ≠ 2.

El numerador puede ser cero, pero el denominador no. Por ejemplo, f(−1) = 0/(−3) = 0 sí está definido. La división conserva los reales cuando el divisor no es cero.

x − 3 ≥ 0: x ≥ 3

Dominio real: [3; +∞)

g(3) = 0; g(7) = 2

g(2) no tiene valor real

Condición: Raíz cuadrada principal; variable x real.

El radicando de una raíz cuadrada real debe ser no negativo. Si es cero, la raíz existe y vale cero. Para x = 2 aparece √(−1), fuera de R. Por eso no todas las operaciones o funciones están definidas para todos los reales.

2·(−3 + 1,5) = 2·(−3) + 2·1,5 = −3

2 + 3·4 = 14

(2 + 3)·4 = 20

La distributiva permite multiplicar cada término de la suma. En cambio, añadir o mover paréntesis cambia la operación: el producto se realiza antes que la suma cuando no hay paréntesis que indiquen otra cosa.

12 personas: un conteo natural

−3,5 °C: una temperatura con signo

5·10⁶ km: distancia de un ejemplo astronómico

Las tres cantidades usan valores reales, pero el contexto añade restricciones. No se cuentan 12,4 personas completas; una temperatura en Celsius puede ser negativa; una distancia no puede ser negativa. La notación científica permite expresar magnitudes grandes sin convertir el infinito en una medida.

Lectura de una regla: 1,20 m

Diagonal de un cuadrado ideal de lado 1 m: √2 m

√2 m ≈ 1,4142 m

Escribir 1,20 m no prueba que la longitud física sea exactamente ese valor: la medición depende de la resolución y del error del instrumento. En el modelo ideal, √2 m es una expresión exacta; 1,4142 m es una aproximación redondeada a cuatro decimales.

v = (3/4)/(1/2) = 3/2 km/h

= 1,5 km/h

Condición: Distancia en km; tiempo positivo en horas.

Dividimos la distancia entre el tiempo transcurrido. El resultado es real y racional. Se conservan las unidades y el tiempo del denominador debe ser positivo; no se puede dividir entre un tiempo cero.

−1; −2; −3; −4; −5; −6; −7; −8; −9; −10

−11; −12; −13; −14; −15; −16; −17; −18; −19; −20

−21; −22; −23; −24; −25; −26; −27; −28; −29; −30

−31; −32; −33; −34; −35; −36; −37; −38; −39; −40

−41; −42; −43; −44; −45; −46; −47; −48; −49; −50

Todos estos números son enteros, racionales y reales. Cada fila avanza hacia valores menores; el valor absoluto aumenta. Estas listas muestran ejemplos, no todos los reales.

−51; −52; −53; −54; −55; −56; −57; −58; −59; −60

−61; −62; −63; −64; −65; −66; −67; −68; −69; −70

−71; −72; −73; −74; −75; −76; −77; −78; −79; −80

−81; −82; −83; −84; −85; −86; −87; −88; −89; −90

−91; −92; −93; −94; −95; −96; −97; −98; −99; −100

Todos estos números son enteros, racionales y reales. Cada fila avanza hacia valores menores; el valor absoluto aumenta. Estas listas muestran ejemplos, no todos los reales.

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10

11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20

21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30

31; 32; 33; 34; 35; 36; 37; 38; 39; 40

41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; 48; 49; 50

Todos estos números son enteros, racionales y reales. Cada fila avanza hacia valores mayores. El cero no es positivo ni negativo; aquí no se incluye entre los naturales. Estas listas muestran ejemplos, no todos los reales.

51; 52; 53; 54; 55; 56; 57; 58; 59; 60

61; 62; 63; 64; 65; 66; 67; 68; 69; 70

71; 72; 73; 74; 75; 76; 77; 78; 79; 80

81; 82; 83; 84; 85; 86; 87; 88; 89; 90

91; 92; 93; 94; 95; 96; 97; 98; 99; 100

Todos estos números son enteros, racionales y reales. Cada fila avanza hacia valores mayores. Los números de estas filas también son naturales. Estas listas muestran ejemplos, no todos los reales.

√9 = 3: natural, entero, racional y real

π/π = 1: natural, entero, racional y real

−√2: irracional y real

2 + 3i: complejo no real

1/0: no definido

Condición: π ≠ 0; N = {1, 2, 3, …}.

Una raíz o un símbolo como π no basta para clasificar una expresión. Primero simplifica y comprueba las condiciones. Después decide si el valor es real y, en ese caso, racional o irracional.