LÓGICA Y CONJUNTOS
La conjunción p ∧ q afirma que se cumplen p y q. Solo es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas; si una o las dos son falsas, la conjunción es falsa.
Practica con 20 ejemplos explicados y ocho ejercicios: las cuatro combinaciones de verdad, requisitos, números, conjuntos, negaciones y propiedades de la conjunción.
Notación: ∧ se lee y. V significa verdadero y F, falso. ¬ niega; ∨ es o inclusiva. Para conjuntos usamos ∩, intersección, y ∪, unión. No son el mismo símbolo que ∧.
Trabajamos con lógica clásica y mantenemos el mismo contexto. Que dos requisitos se cumplan no demuestra por sí solo que sean suficientes para producir otro resultado.
EJEMPLO 01
p: 6 es par; q: 6 es múltiplo de 3.
6 = 2 × 3, así que p = V
6 = 3 × 2, así que q = V
6 es par y múltiplo de 3: p ∧ q = V
Condición: Se habla del entero 6.
La conjunción afirma las dos cosas a la vez. ∧ se lee y; no es una potencia ni una operación aritmética.
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
EJEMPLO 02
p: 6 es par; q: 6 es múltiplo de 4.
p = V; q = F
p ∧ q = F
Condición: Múltiplo significa múltiplo entero.
Que se cumpla la primera condición no compensa el fallo de la segunda. 6 no es múltiplo de 4: entre 4 y 8 no hay otro múltiplo entero de 4.
EJEMPLO 03
p: 6 es impar; q: 6 es múltiplo de 3.
p = F; q = V
p ∧ q = F
Condición: Se habla del entero 6.
La posición de la proposición falsa no cambia el resultado: las dos partes son necesarias para que la conjunción sea verdadera.
EJEMPLO 04
p: 6 es impar; q: 6 es múltiplo de 4.
p = F; q = F
p ∧ q = F
Condición: Múltiplo significa múltiplo entero.
Dos falsedades no forman una conjunción verdadera. Junto con los tres ejemplos anteriores, este caso cubre toda la tabla.
EJEMPLO 05
p: cenamos esta noche; q: bailamos esta noche. Supón que al terminar la noche cenamos, pero no bailamos.
Plan expresado: p ∧ q
Resultado observado en el ejemplo: p = V, q = F
La afirmación cenamos y bailamos es F
Condición: Mismo grupo y misma noche; hechos supuestos para el ejercicio.
Si hiciéramos ambas cosas sería verdadera. Basta que falte una para que sea falsa; no hace falta que fallen las dos.
EJEMPLO 06
p: el coche tiene una batería operativa; q: tiene combustible adecuado. Queremos expresar que se cumplen ambas condiciones.
Ambos requisitos: p ∧ q
Con p = V y q = V, p ∧ q = V
No se deduce por eso: el coche arranca
Condición: Automóvil de combustión; se analiza una conjunción, no un diagnóstico mecánico.
Podría existir otra avería. La verdad de p ∧ q no demuestra una regla causal (p ∧ q) → arranca. Aquí se formula el par de requisitos, sin prometer que baste.
EJEMPLO 07
Para un entero positivo n, ser primo exige más que ser divisible por 1 y por sí mismo.
Condición 1: n > 1
Condición 2: sus únicos divisores positivos son 1 y n
7 cumple ambas: sus divisores son {1, 7}
1 no cumple n > 1; 9 tiene el divisor adicional 3
Condición: n es un entero positivo.
Todos los enteros positivos son divisibles por 1 y por sí mismos. La restricción n > 1 y la ausencia de otros divisores positivos distinguen los primos.
EJEMPLO 08
En un registro hipotético de una planta constan cuatro hechos: nació, creció, produjo descendencia y murió.
p: nació; q: creció; r: produjo descendencia; s: murió
La ficha afirma p ∧ q ∧ r ∧ s
Si uno de esos hechos es falso, la conjunción es falsa
Condición: Registro hipotético completo; desconocer un dato no equivale a declararlo falso.
Este ejemplo adapta la enumeración del original a un caso observado. No define a todos los seres vivos ni exige que cada individuo se reproduzca o haya muerto para estar vivo.
EJEMPLO 09
A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {3, 7, 10, 12, 15}. Busca números que pertenezcan a ambos.
La columna central contiene todos y solo los elementos comunes.
A ∩ B = {3, 7}
x ∈ A ∩ B equivale a (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)
3 pertenece a ambos; 1 solo a A; 10 solo a B
Condición: A y B son los conjuntos indicados.
∧ une proposiciones; ∩ opera sobre conjuntos. La pertenencia a la intersección se expresa con una conjunción, pero los dos símbolos no designan el mismo tipo de objeto.
EJEMPLO 10
Para x real, exige x ≥ 2 y x < 5.
(x ≥ 2) ∧ (x < 5)
Solución: [2, 5)
2 cumple ambas; 5 falla la segunda
Condición: x es real; 2 incluido y 5 excluido.
Se toma la zona común a las dos condiciones. Unir los intervalos daría otro resultado; aquí hace falta su intersección.
EJEMPLO 11
p: la ficha es azul; q: la ficha es redonda. Supón que es azul y cuadrada, de modo que q es falsa.
La ficha es azul y no es redonda: p ∧ ¬q
p = V; q = F; ¬q = V
p ∧ ¬q = V
Condición: Misma ficha; cuadrada y no redonda según las categorías del ejercicio.
Primero evalúa la negación; después la conjunción. Tener un signo ¬ no hace falsa automáticamente toda la fórmula.
EJEMPLO 12
p: cenamos; q: bailamos. Niega cenamos y bailamos.
¬(p ∧ q) equivale a ¬p ∨ ¬q
No cenamos o no bailamos
Con p = V, q = F: la negación es V
Condición: Mismo grupo y periodo; ∨ inclusiva.
No se exige dejar de hacer las dos cosas. No ambas es distinto de ninguna: ¬p ∧ ¬q.
| p, q | ¬(p ∧ q) | ¬p ∨ ¬q |
|---|---|---|
| V, V | F | F |
| V, F | V | V |
| F, V | V | V |
| F, F | V | V |
EJEMPLO 13
p: 6 es par; q: 6 es múltiplo de 3.
p ∧ q equivale a q ∧ p
Ambas fórmulas: V, F, F, F para p,q = VV, VF, FV, FF
Condición: Lógica clásica; mismo contexto y significado de las letras.
Es la propiedad conmutativa: intercambiar las partes no cambia el valor lógico. Esto no añade información sobre el orden temporal de los hechos.
EJEMPLO 14
p: tengo pase; q: tengo reserva; r: tengo identificación. Comprueba las tres condiciones.
(p ∧ q) ∧ r equivale a p ∧ (q ∧ r)
Se puede abreviar como p ∧ q ∧ r
Solo p = q = r = V produce V
Condición: Misma persona y comprobación; se evalúan requisitos, no una autorización adicional.
Es la propiedad asociativa. Las tablas incluyen todas las combinaciones, no solo el caso en que se cumplen las tres.
| p, q, r | (p ∧ q) ∧ r | p ∧ (q ∧ r) |
|---|---|---|
| V, V, V | V | V |
| V, V, F | F | F |
| V, F, V | F | F |
| V, F, F | F | F |
| p, q, r | (p ∧ q) ∧ r | p ∧ (q ∧ r) |
|---|---|---|
| F, V, V | F | F |
| F, V, F | F | F |
| F, F, V | F | F |
| F, F, F | F | F |
EJEMPLO 15
p: tengo pase. Compara tengo pase con tengo pase y tengo pase.
p ∧ p equivale a p
Con p = V, resultado V; con p = F, resultado F
Condición: Lógica clásica; mismo contexto y significado de las letras.
Es la idempotencia. Se repite exactamente la misma proposición, no afirmaciones parecidas sobre personas o momentos distintos.
EJEMPLO 16
p: la puerta está abierta. Escribe p y no p en el mismo sentido y momento.
p ∧ ¬p
Con p = V: V ∧ F = F
Con p = F: F ∧ V = F
Condición: Misma puerta, instante y criterio de abierta.
Es una contradicción en lógica clásica. Cambiar de instante entre ambas frases produciría proposiciones distintas, no p y ¬p.
EJEMPLO 17
p: tengo pase; q: tengo invitación; r: tengo reserva. Exige pase y al menos una de las otras dos cosas.
p ∧ (q ∨ r)
Equivale a (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Con p = F, aunque q y r sean V, el resultado es F
Condición: Misma persona; o inclusiva.
Es la propiedad distributiva. Tener invitación o reserva no elimina la exigencia del pase. La o permite tener ambas.
| p, q, r | p ∧ (q ∨ r) | (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) |
|---|---|---|
| V, V, V | V | V |
| V, V, F | V | V |
| V, F, V | V | V |
| V, F, F | F | F |
| p, q, r | p ∧ (q ∨ r) | (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) |
|---|---|---|
| F, V, V | F | F |
| F, V, F | F | F |
| F, F, V | F | F |
| F, F, F | F | F |
EJEMPLO 18
Supón que p ∧ q es verdadera.
De p ∧ q se obtiene p; también se obtiene q
Si p y q se conocen por separado, se puede afirmar p ∧ q
De p sola no se obtiene p ∧ q: p = V, q = F lo refuta
Condición: Lógica clásica; mismo contexto y significado de las letras.
Extraer una parte e introducir una conjunción con ambas premisas son reglas válidas. Si p ∧ q es falsa, solo sabemos que alguna parte falla, no cuál.
EJEMPLO 19
p: el trayecto es corto; q: el trayecto es difícil. Formaliza el trayecto es corto, pero difícil.
Contenido afirmado: p ∧ q
Si p = V y q = V, la conjunción es V
Condición: Mismo trayecto y criterios fijados de corto y difícil.
En esta frase, pero añade un contraste y a la vez afirma ambas partes. La formalización conserva el contenido de verdad, no todo el matiz del lenguaje.
EJEMPLO 20
p: cerré la ventana; q: encendí la lámpara, durante el mismo periodo.
p ∧ q afirma que ocurrieron ambos hechos
p ∧ q no especifica cuál ocurrió primero
Primero p y después q añade una relación temporal
Condición: Lógica clásica; mismo contexto y significado de las letras.
La y cotidiana puede sugerir una secuencia. La conjunción lógica por sí sola no la codifica; por eso su conmutatividad no permite invertir una instrucción práctica.
CONSULTA
Resuelve las evaluaciones, equivalencias e interpretación del intervalo antes de mirar las respuestas.
Condición: Lógica clásica; mismo contexto y significado de las letras.
En una tabla de verdad se consideran todas las asignaciones de las letras. Si el contexto restringe cuáles son posibles, hay que declarar esa condición.
| Ejercicio | Respuesta |
|---|---|
| p = V, q = F: p ∧ q | F. |
| p = F, q = V: ¬p ∧ q | V. |
| p = V, q = V: p ∧ ¬q | F. |
| p = F, q = F: ¬(p ∧ q) | V. |
| Ejercicio | Respuesta |
|---|---|
| p ∧ p | Equivale a p. |
| p ∧ ¬p | Siempre F: contradicción. |
| x ≥ 1 y x < 4 | Intervalo [1, 4), con x real. |
| p ∧ q es falsa | Al menos una parte es falsa; no sabemos cuál. |
CONSULTA
Utiliza estos pasos al pasar de las palabras a los símbolos.
1. Identifica las afirmaciones completas
2. Conserva contexto y significado
3. Une con ∧ y marca el alcance de las negaciones
4. Calcula cada parte
5. El resultado es V solo si todas son V
Condición: Lógica clásica; mismo contexto y significado de las letras.
No confundas tener un requisito con cumplirlos todos, ni una conjunción verdadera con una garantía causal. Para conjuntos, usa ∩ y explica la pertenencia mediante ∧.