Lógica matemática: ejemplos de demostraciones

1. Supuesto provisional: √2 es racional. Elegimos √2 = p/q, con p y q enteros positivos y mcd(p,q) = 1.

2. Como q ≠ 0, al cuadrar y multiplicar por q²: 2 = p²/q² y p² = 2q².

3. p² es par. Por el lema del ejemplo 2, p es par; escribimos p = 2k.

4. Sustituimos: 4k² = 2q². Dividimos entre 2 y obtenemos q² = 2k².

5. q² es par. Por el mismo lema, q también es par.

6. p y q comparten el divisor 2, contradiciendo mcd(p,q) = 1. Se descarta la racionalidad de √2.

Condición: p,q enteros positivos; q ≠ 0; mcd(p,q) = 1.

«Sin factor común» se precisa como «sin divisor común positivo mayor que 1»: cualquier par de enteros comparte 1. La fracción reducida puede elegirse al suponer racionalidad. El lema se demuestra por separado para evitar circularidad. La contradicción afecta al supuesto temporal, no a las reglas aritméticas.

Si n fuera impar, sería n = 2k + 1 con k entero.

Entonces n² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, que es impar.

Esto contradice n² par. Por tanto, n es par.

Condición: n y k enteros.

Un lema es una proposición demostrada que se usa como ayuda en otra prueba; no es un axioma añadido porque convenga. Este argumento no utiliza la irracionalidad de √2.

1. 0 pertenece a ℕ.

2. Cada n de ℕ tiene un único sucesor S(n) en ℕ.

3. 0 no es sucesor de ningún natural: S(n) ≠ 0.

4. El sucesor es inyectivo: si S(a) = S(b), entonces a = b.

5. Inducción: si A es un subconjunto de ℕ, contiene 0 y contiene S(n) siempre que contiene n, entonces A = ℕ.

Condición: Convención ℕ con 0; S es la función sucesor.

Son condiciones aceptadas como punto de partida del sistema, no conclusiones de una observación de muchos números. Esta formulación de la inducción habla de subconjuntos; en aritmética de primer orden se usa un esquema de inducción para fórmulas. El número y agrupamiento de axiomas depende de la presentación. Aquí la igualdad conserva sus reglas lógicas habituales.

1. Supongamos 2 = 1. Por las definiciones, S(S(0)) = S(0).

2. La inyectividad de S permite concluir S(0) = 0.

3. Pero ningún sucesor es 0; en particular, S(0) ≠ 0.

4. Hay contradicción. Por tanto, 2 ≠ 1.

Condición: Axiomas 3 y 4 del ejemplo anterior; igualdad habitual.

Se distinguen las definiciones de 1 y 2, dos axiomas sobre S y la conclusión demostrada. No estamos justificando todos los hechos aritméticos mediante el dibujo de una sucesión.

1 = S(0), 2 = S(1) y 3 = S(2).

2 + 1 = 2 + S(0).

Por la regla recursiva: 2 + S(0) = S(2 + 0).

Por la regla inicial: S(2 + 0) = S(2) = 3.

Condición: Suma definida recursivamente en ℕ; recursión admitida como resultado previo.

Las reglas de esta definición no se confunden con los cinco enunciados de Peano. El cálculo aplica la definición. La existencia y unicidad de la operación definida por recursión requiere su teorema correspondiente, que aquí se toma como resultado previo.

Por definición, m = 2a y n = 2b + 1 para ciertos enteros a y b.

m + n = 2a + 2b + 1 = 2(a + b) + 1.

a + b es entero. La suma tiene la forma de un impar.

Condición: m,n,a,b enteros; m par y n impar.

La prueba usa las hipótesis, las definiciones de par e impar y propiedades del álgebra. No necesita suponer la negación de la conclusión.

Caso 1: n = 2k es par. Entonces n(n + 1) = 2[k(2k + 1)].

Caso 2: n = 2k + 1 es impar. Entonces n(n + 1) = 2[(2k + 1)(k + 1)].

En ambos casos el producto es dos veces un entero, así que es par.

Condición: n y k enteros; se incluyen cero y negativos.

Los casos son exhaustivos: todo entero es par o impar. Probarlo solo para n positivo y olvidar cero o negativos no cubriría el enunciado completo.

La contraposición es: si n no es impar, entonces n² no es impar.

En los enteros equivale a: si n es par, entonces n² es par.

Si n = 2k, se tiene n² = 4k² = 2(2k²), que es par.

Por equivalencia con la contraposición, queda probado el objetivo.

Condición: n y k enteros; lógica clásica.

No estamos demostrando la recíproca ni la inversa. El paso de «no impar» a «par» depende de trabajar con enteros.

Base n = 0: 0 = 0(0 + 1)/2.

Hipótesis inductiva: para un natural arbitrario k, la suma de 1 a k es k(k + 1)/2.

Paso: la suma de 1 a k + 1 es k(k + 1)/2 + (k + 1).

Con denominador común: [k(k + 1) + 2(k + 1)]/2 = (k + 1)(k + 2)/2.

Es la fórmula para k + 1. Por base y paso general, vale para todo n de ℕ.

Condición: n,k naturales con 0; aritmética usual; principio de inducción.

La hipótesis no da por demostrado el resultado para todos los naturales: permite probar la implicación P(k) → P(k + 1) con k arbitrario. La base inicia la cadena. La inducción matemática es una demostración deductiva, distinta de generalizar a partir de observaciones.

Dirección 1: si n = 2k es par, n² = 4k² = 2(2k²) es par.

Dirección 2: si n² es par, el lema del ejemplo 2 demuestra que n es par.

Probadas ambas implicaciones, n es par ⇔ n² es par.

Condición: n y k enteros; ⇔ significa si y solo si.

Una sola dirección no basta para afirmar una equivalencia. Aquí la segunda puede citarse porque ya fue demostrada sin utilizar esta equivalencia.

Elegimos el candidato x = 4.

4 pertenece a los enteros.

Sustituimos: 2 × 4 + 3 = 11.

Hemos encontrado un testigo; por tanto, existe tal entero.

Condición: x entero; objetivo de existencia.

El testigo basta porque el objetivo es existencial. Para una afirmación universal, un caso favorable aislado no bastaría. Si el dominio fuera «enteros impares», este testigo no pertenecería al dominio.

Existencia: x = 3 es real y 3 × 3 − 1 = 8.

Unicidad: sean u y v soluciones. Entonces 3u − 1 = 8 y 3v − 1 = 8.

Al restar, 3(u − v) = 0. Como 3 ≠ 0, u = v.

Hay una solución y dos soluciones cualesquiera coinciden: existe una única solución.

Condición: u,v reales; división solo por 3, que no es cero.

El argumento de unicidad también sería compatible con que no hubiera soluciones; por eso se comprueba la existencia por separado. No se necesita adivinar una segunda solución para descartarla.

A: para todo entero x existe un entero y con x + y = 0.

A es verdadero: dado cualquier x, elegimos y = −x.

B: existe un entero y tal que, para todo entero x, x + y = 0.

B es falso: al tomar x = 0 se exige y = 0; al tomar x = 1 se exige y = −1. Un mismo y no puede cumplir ambas condiciones.

Condición: x e y enteros; se respeta el orden de cuantificadores.

En A se permite elegir un y distinto según x. En B se exige un mismo testigo que sirva para todos los x; eso no afirma unicidad entre posibles testigos. Los cuantificadores no se intercambian libremente.

En los reales, x = 1/2 es un contraejemplo: x² = 1/4 < 1/2.

En los enteros, todo x satisface x ≤ 0 o x ≥ 1.

Si x ≤ 0, x y x − 1 son no positivos, así que x(x − 1) ≥ 0.

Si x ≥ 1, x y x − 1 son no negativos, así que x(x − 1) ≥ 0.

Por tanto, x² ≥ x sí vale para todos los enteros.

Condición: Se distinguen expresamente enteros y reales.

Un contraejemplo debe pertenecer al dominio. El mismo valor 1/2 no refuta el enunciado restringido a enteros.

Dividir por x supondría x ≠ 0 y daría x = 1.

Pero x = 0 sí cumple la ecuación original; no se puede excluir sin comprobarlo.

Procedimiento completo: x² − x = x(x − 1) = 0.

En los reales, un producto nulo tiene algún factor nulo: x = 0 o x = 1.

Ambos valores verifican x² = x. Son todas las soluciones.

Condición: x real; no dividir por cero.

Una deducción válida bajo x ≠ 0 no resuelve por sí sola el problema sin esa restricción. Al transformar ecuaciones hay que controlar si se conserva la equivalencia.

La forma es válida: de todos los A son B y 7 pertenece a A se sigue que 7 pertenece a B.

Sin embargo, la premisa «todos los enteros son pares» es falsa.

La conclusión «7 es par» también es falsa: 7 = 2 × 3 + 1 es impar.

Una forma válida no convierte una hipótesis falsa en un hecho demostrado sobre los enteros.

Condición: Interpretación usual de entero y par.

Una prueba de un teorema debe justificar sus puntos de partida dentro del sistema y aplicar reglas válidas. No basta que la conclusión aparezca después de una cadena formalmente correcta.

Condición: Dominio y supuestos indicados en el enunciado; lógica clásica.

Comprueba qué se toma como dato, qué se define, qué resultado previo se usa y qué se pretende concluir. No confundas una prueba incompleta con una afirmación necesariamente falsa.

1. Fija el dominio y escribe los cuantificadores.

2. Separa axiomas o resultados previos, definiciones, hipótesis del problema y supuestos temporales.

3. Elige una prueba directa, por casos, contraposición, contradicción o inducción según la estructura.

4. Justifica cada paso y sus restricciones; comprueba denominadores y casos omitidos.

5. Cierra exactamente el objetivo: universalidad, existencia, unicidad o equivalencia.

6. Usa ejemplos para entender y contraejemplos para refutar; no reemplaces una prueba general por casos favorables.

Condición: Dominio y supuestos indicados en el enunciado; lógica clásica.

Estas demostraciones usan propiedades aritméticas ya conocidas; no pretenden derivar toda la aritmética desde cero. Cuando se trabaja explícitamente con Peano o con recursión, se indica qué se admite y qué se deduce.