LÓGICA Y CONJUNTOS
La lógica ayuda a comprobar si una conclusión se sigue de unas premisas. En un argumento deductivo válido no puede haber premisas todas verdaderas y una conclusión falsa. Eso no significa que las premisas sean verdaderas: también hay que comprobarlas.
Practica con 26 ejemplos explicados y ocho formas de argumento. Aprenderás a distinguir verdad y validez, detectar inferencias incorrectas y usar cuantificadores sin confundirlos con simples letras.
Dos preguntas distintas: ¿las premisas son verdaderas? ¿la conclusión se sigue de ellas? Un argumento sólido es válido y tiene todas sus premisas verdaderas.
Símbolos: ¬ no; ∧ y; ∨ o inclusiva; → si… entonces; ∀ para todo; ∃ existe al menos uno. V y F significan verdadero y falso. En esta guía → es la condicional material: solo es falsa cuando el antecedente es V y el consecuente es F.
Trabajamos en lógica clásica. Las letras p y q representan proposiciones completas; P(x) expresa una propiedad de un objeto x.
EJEMPLO 01
Compara una afirmación, una pregunta y una orden.
2 + 3 = 5: proposición verdadera
¿Cuánto es 2 + 3?: pregunta
Calcula 2 + 3: orden
Condición: Se usa lógica clásica y los términos conservan el mismo sentido.
La afirmación tiene valor de verdad. La pregunta y la orden no son verdaderas ni falsas en el mismo sentido; no se usan como premisas declarativas tal como están.
EJEMPLO 02
Examina la afirmación 9 es par.
9 = 2 × 4 + 1
9 es par: falso
Condición: Se usa lógica clásica y los términos conservan el mismo sentido.
Ser falsa no impide que sea una proposición. Verdadero y falso califican enunciados; válido e inválido califican argumentos deductivos.
EJEMPLO 03
Considera P(x): x > 3, con x entero.
P(5) es verdadera
P(2) es falsa
P(x), sin fijar x, es una fórmula abierta
Condición: Dominio: números enteros.
No se asigna un único valor de verdad a P(x) sin una interpretación para x. Más adelante veremos cómo para todo o existe cierran la afirmación.
EJEMPLO 04
Identifica las razones y lo que se obtiene de ellas.
Premisa 1: Todo múltiplo de 4 es par
Premisa 2: 12 es múltiplo de 4
Conclusión: 12 es par
Condición: Múltiplo significa múltiplo entero.
Es válido: si las dos premisas son verdaderas, la conclusión no puede ser falsa. Además, las premisas son verdaderas; por eso este argumento es sólido.
EJEMPLO 05
Analiza el argumento sin dar por verdadera su primera premisa.
Premisa 1: Todo múltiplo de 3 es par (falsa)
Premisa 2: 9 es múltiplo de 3 (verdadera)
Conclusión: 9 es par (falsa)
Condición: Se usa lógica clásica y los términos conservan el mismo sentido.
La forma todos los A son B; c es A; luego c es B es válida. Aquí el argumento no es sólido porque la primera premisa es falsa. Validez sola no asegura una conclusión verdadera.
EJEMPLO 06
Cambia el objeto del ejemplo anterior por el número 6.
Premisa 1: Todo múltiplo de 3 es par (falsa)
Premisa 2: 6 es múltiplo de 3 (verdadera)
Conclusión: 6 es par (verdadera)
Condición: Se usa lógica clásica y los términos conservan el mismo sentido.
La forma sigue siendo válida y el argumento sigue sin ser sólido. Que una premisa sea falsa no determina por sí solo si la conclusión es verdadera o falsa.
EJEMPLO 07
Se propone: si n es múltiplo de 4, es par; n es par; por tanto n es múltiplo de 4.
Con n = 8, la conclusión es verdadera
Con n = 6, las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa
La forma de inferencia es inválida
Condición: n es entero; se evalúa la forma general del argumento.
6 funciona como contraejemplo al procedimiento. Que el procedimiento acierte para 8 no lo hace válido para cualquier n.
EJEMPLO 08
En un panel, p significa está activado el modo A y q significa está encendida la luz. Aceptamos como premisa la regla si p, entonces q.
Premisas: p → q; p
Conclusión: q
Forma válida
Condición: La regla se toma como premisa del ejercicio.
Solo hay que examinar los casos en que ambas premisas sean verdaderas. En todos ellos q es verdadera. La validez no comprueba que la regla describa un panel real.
EJEMPLO 09
Con los mismos significados del panel, acepta la regla p → q y que la luz no está encendida.
Premisas: p → q; ¬q
Conclusión: ¬p
Forma válida
Condición: Se acepta p → q y no se cambia el significado de p ni de q.
Si p fuera verdadera, la regla obligaría a q. Eso contradice ¬q; por tanto, bajo las premisas, p no puede ser verdadera.
EJEMPLO 10
La luz está encendida y se acepta que activar A la enciende. ¿Podemos concluir que A está activado?
Premisas: p → q; q
Conclusión propuesta: p
Contraejemplo: p = F; q = V
Forma inválida
Condición: Se usa lógica clásica y los términos conservan el mismo sentido.
La luz podría encenderse de otra manera. Con p falsa y q verdadera las dos premisas son verdaderas, pero la conclusión p es falsa.
EJEMPLO 11
Se acepta p → q y sabemos que el modo A no está activado.
Premisas: p → q; ¬p
Conclusión propuesta: ¬q
Contraejemplo: p = F; q = V
Forma inválida
Condición: Se usa lógica clásica y los términos conservan el mismo sentido.
La regla solo dice qué ocurre si p. No dice que p sea la única forma de que q ocurra.
EJEMPLO 12
Sea p hace frío y q hace calor, como letras proposicionales. Si se supone p ∧ q, ¿qué se puede concluir formalmente?
Premisa: p ∧ q
Conclusión: q
Forma válida; p como premisa adicional sobra
Condición: Se analiza la conjunción supuesta, no se afirma que ambas descripciones del tiempo sean ciertas.
∧ significa y; ∨ significa o. Esta fórmula es proposicional: escribir letras no la convierte en lógica de predicados. La interpretación meteorológica requiere precisar lugar, momento y criterios; aquí se comprueba la regla formal.
EJEMPLO 13
p significa la ficha es azul y q significa la ficha es redonda. Se afirma cada una por separado.
Premisas: p; q
Conclusión: p ∧ q
Forma válida
Condición: Se usa lógica clásica y los términos conservan el mismo sentido.
La conclusión reúne las dos afirmaciones. No se ha añadido una propiedad nueva a la ficha.
EJEMPLO 14
El original propone: hace frío o hace calor; hace frío; por tanto no hace calor. Sea p la primera descripción y q la segunda.
Premisas: p ∨ q; p
Conclusión propuesta: ¬q
Contraejemplo formal: p = V; q = V
Forma inválida con o inclusiva
Condición: No se incorpora ninguna premisa de exclusión mutua.
La disyunción inclusiva admite que p y q sean verdaderas. Si el contexto meteorológico las excluye, esa exclusión es una condición adicional; no proviene del símbolo ∨.
| p, q | Premisas p ∨ q; p | Conclusión ¬q |
|---|---|---|
| V, V | V; V | F |
| V, F | V; V | V |
| F, V | V; F | F |
| F, F | F; F | V |
EJEMPLO 15
Sabemos que una ficha es azul o redonda, y además que no es azul.
Premisas: p ∨ q; ¬p
Conclusión: q
Forma válida
Condición: Se usa lógica clásica y los términos conservan el mismo sentido.
Al descartar p, la disyunción solo puede seguir siendo verdadera si q lo es. Esto sí funciona con la o inclusiva.
EJEMPLO 16
Un selector permite exactamente uno de dos modos: A o B. A está seleccionado.
Premisas: (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q); p
Conclusión: ¬q
Forma válida
Condición: El selector tiene exactamente un modo activo entre A y B.
La primera premisa añade no ambos. Ahora p verdadera obliga a q falsa. Hay que expresar esa exclusividad para usarla en la deducción.
EJEMPLO 17
L significa llueve; S, salgo de casa; M, me mojo. Tomamos una regla estipulada para este ejercicio.
Premisa 1: (L ∧ S) → M
Premisa 2: L
Premisa 3: S
Conclusión: M
Condición: La relación se acepta como hipótesis, no como una ley física sin excepciones.
Primero se reúne L ∧ S y después se aplica la condicional. La oración si llueve y salgo, me mojo por sí sola no afirma que llueva ni que salga. Para aplicarla a una situación real habría que comprobar sus condiciones.
EJEMPLO 18
Un registro declara que todos sus perros tienen ficha y que Toby es uno de esos perros.
Premisa 1: Todo perro de este registro tiene ficha
Premisa 2: Toby es perro de este registro
Conclusión: Toby tiene ficha
Condición: Ambas premisas deben comprobarse en el registro para afirmar que el argumento es sólido.
La forma es válida. Sustituimos la generalización del original sobre nacer, crecer, reproducirse y morir por una regla explícita del registro: el argumento lógico no basta para acreditar una afirmación biológica universal.
EJEMPLO 19
En U = {2, 3, 4}, P(x) significa x es par.
Hay un testigo para ∃x P(x) y un contraejemplo para ∀x P(x).
P(2) = V; P(3) = F; P(4) = V
∃x P(x) es verdadera
∀x P(x) es falsa
Condición: Todos los cuantificadores de este ejemplo recorren U = {2, 3, 4}.
∃ significa existe al menos uno; ∀ significa para todo. P recibe un objeto como argumento, a diferencia de una letra p que representa una proposición completa.
EJEMPLO 20
En un dominio dado, P(x) significa x tiene etiqueta verde y Q(x), x está registrado. a es un objeto de ese dominio.
Premisas: ∀x (P(x) → Q(x)); P(a)
Conclusión: Q(a)
Forma válida
Condición: a designa un objeto del dominio.
La primera premisa aplicada a a da P(a) → Q(a). Con P(a) obtenemos Q(a). Esta sí es una inferencia con predicados y cuantificación.
EJEMPLO 21
En U = {2, 3, 4}, P(x) significa x es par.
∃x P(x) = V: 2 es un testigo
∀x P(x) = F: 3 es un contraejemplo
De ∃x P(x) no se deduce ∀x P(x)
Condición: Dominio U = {2, 3, 4}.
Un testigo basta para existe. Un solo contraejemplo basta para refutar para todo.
EJEMPLO 22
En U = {1, 2}, P(x) significa x > 10 y Q(x), x es par.
∀x (P(x) → Q(x)) = V
∃x P(x) = F
Condición: Dominio no vacío U = {1, 2}; interpretación clásica de la condicional.
No hay objetos de U que cumplan P. Ninguno puede incumplir la regla si es P, entonces Q. Para concluir que existe un P hace falta una premisa de existencia.
EJEMPLO 23
En U = {2, 3, 4}, niega todos los números son pares.
Negación: existe al menos un número que no es par
¬∀x P(x) equivale a ∃x ¬P(x)
3 cumple ¬P; 2 y 4 sí cumplen P
Condición: Dominio U = {2, 3, 4}; P(x) significa x es par.
La negación no exige que todos sean impares. Basta que falle un caso.
EJEMPLO 24
En N = {0, 1, 2, …}, compara dos afirmaciones.
∀x ∃y (x < y): verdadera; elige y = x + 1
∃y ∀x (x < y): falsa; para cada y falla x = y
Condición: x e y recorren N.
En la primera, y puede depender de x. La segunda exige un único y mayor que todos los x, incluido él mismo. No se pueden intercambiar los cuantificadores sin revisar el sentido.
EJEMPLO 25
3, 5 y 7 son primos impares. ¿Basta para concluir que todos los primos son impares?
3, 5 y 7: primos impares
2: primo que no es impar
La conclusión universal es falsa
Condición: Se usa lógica clásica y los términos conservan el mismo sentido.
Los casos observados no bastan para esa generalización. La inducción empírica busca apoyo en casos; no garantiza la conclusión como una deducción válida. No se trata aquí de la inducción matemática, que es un método de demostración.
EJEMPLO 26
Trabajamos con proposiciones clásicas a las que se asigna V o F.
p ∨ ¬p siempre vale V
p ∧ ¬p siempre vale F
Condición: Marco de lógica clásica bivalente.
Bivalencia fija dos valores de verdad. No significa que siempre sepamos cuál corresponde a una afirmación; tampoco se presenta como una regla de todas las lógicas posibles.
CONSULTA
Decide si la conclusión se sigue de las premisas. Busca un caso con premisas V y conclusión F para refutar una forma.
Condición: Se usa lógica clásica y los términos conservan el mismo sentido.
Una tabla exhaustiva que no contiene ese caso acredita validez proposicional. Encontrar varias filas favorables sin revisar las restantes no basta.
| Premisas ⇒ conclusión | Evaluación |
|---|---|
| p → q; p ⇒ q | Válida: modus ponens. |
| p → q; ¬q ⇒ ¬p | Válida: modus tollens. |
| p → q; q ⇒ p | Inválida: p = F, q = V. |
| p → q; ¬p ⇒ ¬q | Inválida: p = F, q = V. |
| Premisas ⇒ conclusión | Evaluación |
|---|---|
| p ∨ q; p ⇒ ¬q | Inválida: p = V, q = V. |
| p ∨ q; ¬p ⇒ q | Válida: silogismo disyuntivo. |
| p → q; q → r ⇒ p → r | Válida: encadena las dos condicionales. |
| p ∧ q ⇒ q | Válida: extrae una parte de la conjunción. |
CONSULTA
Los nombres de esta tabla describen enfoques, lenguajes o temas relacionados. No todos están en el mismo nivel de clasificación.
Condición: Se usa lógica clásica y los términos conservan el mismo sentido.
La guía se centra en argumentos deductivos de lógica clásica. Los ejercicios específicos de conectivas se desarrollan en las siguientes entregas.
| Nombre | Qué estudia o permite expresar |
|---|---|
| Lógica matemática | Estudia formalmente sistemas lógicos; no se limita a hacer cálculos. |
| Conjuntos | Los conjuntos se estudian con herramientas lógicas. Por ejemplo, A ⊆ B expresa que todo miembro de A pertenece a B. |
| Proposicional | Trabaja con proposiciones completas y conectivas como ¬, ∧, ∨ y →. |
| Predicados / primer orden | Incorpora objetos, propiedades, relaciones y cuantificadores, como ∀x (P(x) → Q(x)). |
| Nombre | Qué estudia o permite expresar |
|---|---|
| Formal | Hace explícitas las formas y reglas; puede abarcar lógica proposicional y de predicados. |
| Deductiva | Evalúa inferencias que pretenden garantizar una conclusión. Se usa en matemáticas y otros ámbitos, no solo en inteligencia artificial. |
| Clases | Analiza relaciones entre clases, como todos los A son B o ningún A es B; se vincula con conjuntos y lógica de predicados. |