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LÓGICA Y CONJUNTOS

Silogismo: ejemplos con premisas, conclusión y explicación

Un silogismo enlaza dos premisas con una conclusión. Para saber si la conclusión se sigue, hay que revisar la forma del razonamiento; para saber si describe la realidad, también hay que comprobar las premisas.

Esta colección reúne 20 ejemplos explicados y ocho ejercicios: afirmaciones universales y particulares, negaciones, condicionales, disyunciones y errores que parecen razonamientos correctos.

Dos familias: los silogismos categóricos relacionan clases mediante todo, ningún y algún. Los hipotéticos y disyuntivos trabajan con proposiciones conectadas por si… entonces u o.

Convención de existencia: aquí usamos la interpretación moderna: «todo S es P» y «ningún S es P» no afirman que existan S. «Algún S» sí exige al menos uno. Cuando una conclusión necesita existencia, la indicamos; no se traslada sin avisar una convención tradicional que la presuponga.

Notación: S, P y M son clases; las minúsculas p, q y r son proposiciones. ¬ es no; →, si… entonces; ∨, o inclusiva. V es verdadero y F, falso.

Silogismos categóricos y casos particulares

EJEMPLO 01

Humanos, mamíferos y animales

S representa humanos; M, mamíferos; P, animales. El término medio conecta las otras dos clases.

La inclusión de clases conecta las premisas con la conclusión.
Animales (P)
Mamíferos (M)
Humanos (S)

El esquema representa inclusión, no cantidades ni una afirmación de existencia.

Premisa mayor: todos los mamíferos son animales

Premisa menor: todos los humanos son mamíferos

Conclusión: todos los humanos son animales

Forma: todo M es P; todo S es M; por tanto, todo S es P

Condición: Significados constantes; universales sin existencia implícita.

Cada humano pertenece a M, y todo lo que pertenece a M también pertenece a P. La conclusión no dice que todos los animales sean humanos. Esta forma se conoce como Barbara.

Los tres términos del primer ejemplo
PapelTérminoDónde aparece
Menor (S)HumanosSujeto de la conclusión
Mayor (P)AnimalesPredicado de la conclusión
Medio (M)MamíferosEn ambas premisas; no en la conclusión
La premisa mayor contiene P y M; la menor contiene S y M. Su nombre no depende de cuál se escriba primero.

EJEMPLO 02

Conclusión universal negativa

En un catálogo de figuras planas, M son polígonos, P son círculos y S son cuadrados. Se usan las definiciones geométricas habituales.

Premisa mayor: ningún polígono es un círculo

Premisa menor: todos los cuadrados son polígonos

Conclusión: ningún cuadrado es un círculo

Forma: ningún M es P; todo S es M; por tanto, ningún S es P

Condición: Significados constantes; universales sin existencia implícita.

Si un cuadrado fuese un círculo, habría un polígono que fuese círculo, contra la primera premisa. La exclusión de M y P se transmite a los S incluidos en M.

EJEMPLO 03

Una conclusión particular afirmativa

En un club, S son estudiantes, M son autores de relatos y P son lectores. Las premisas describen este club, no a todas las personas.

Premisa mayor: todos los autores de relatos del club son lectores

Premisa menor: algunos estudiantes del club son autores de relatos

Conclusión: algunos estudiantes del club son lectores

Forma: todo M es P; algún S es M; por tanto, algún S es P

Condición: Significados constantes; universales sin existencia implícita.

El estudiante cuya existencia afirma la segunda premisa es M y, por la primera, P. No se puede cambiar «algunos estudiantes» por «todos». La primera premisa se acepta para este ejercicio.

EJEMPLO 04

Una conclusión particular negativa

En un almacén, S son cajas urgentes, M son cajas frágiles y P son cajas metálicas. Acepta las dos premisas del inventario.

Premisa mayor: ninguna caja frágil es metálica

Premisa menor: algunas cajas urgentes son frágiles

Conclusión: algunas cajas urgentes no son metálicas

Forma: ningún M es P; algún S es M; por tanto, algún S no es P

Condición: Significados constantes; universales sin existencia implícita.

La misma caja urgente y frágil debe quedar fuera de P. La existencia viene de «algunas»; no se deduce de la premisa negativa universal. No se afirma que todas las cajas urgentes sean frágiles.

EJEMPLO 05

El término medio como predicado en ambas premisas

S son documentos firmados de una carpeta, P son borradores y M son documentos aprobados. Se dan estas condiciones.

Premisa mayor: ningún borrador está aprobado

Premisa menor: todos los documentos firmados están aprobados

Conclusión: ningún documento firmado es un borrador

Forma: ningún P es M; todo S es M; por tanto, ningún S es P

Condición: Significados constantes; universales sin existencia implícita.

Cualquier S está en M. Como ningún P está en M, un S no puede ser P. El término medio no tiene que ocupar siempre la misma posición que en el primer ejemplo.

EJEMPLO 06

El término medio como sujeto en ambas premisas

M son integrantes de un taller, P son ilustradores y S son estudiantes. Las premisas se refieren a ese taller.

Premisa mayor: algunos integrantes del taller son ilustradores

Premisa menor: todos los integrantes del taller son estudiantes

Conclusión: algunos estudiantes son ilustradores

Forma: algún M es P; todo M es S; por tanto, algún S es P

Condición: Significados constantes; universales sin existencia implícita.

El integrante que es ilustrador también es estudiante. No se intercambian personas entre las premisas: seguimos al mismo individuo cuya existencia se afirma en la primera.

EJEMPLO 07

Otra posición del término medio

En una biblioteca, P son libros raros, M son libros inventariados y S son libros descartados. Acepta estas reglas del catálogo.

Premisa mayor: todos los libros raros están inventariados

Premisa menor: ningún libro inventariado está descartado

Conclusión: ningún libro descartado es raro

Forma: todo P es M; ningún M es S; por tanto, ningún S es P

Condición: Significados constantes; universales sin existencia implícita.

Un libro raro tendría que ser M y, por ello, no podría ser S. La conclusión universal negativa también puede expresarse como «ningún libro raro está descartado». No se afirma que existan libros de alguna de estas clases.

EJEMPLO 08

Aplicar una afirmación universal a la Tierra

Este argumento trata un individuo concreto. Para evitar un salto de dominio, ambas premisas hablan del sistema solar.

Premisa 1: todos los planetas del sistema solar tienen una forma aproximadamente esférica

Premisa 2: la Tierra es un planeta del sistema solar

Conclusión: la Tierra tiene una forma aproximadamente esférica

Condición: Mismo dominio: planetas del sistema solar; forma general, no esfera perfecta.

La segunda premisa sitúa a la Tierra exactamente en la clase de la primera. «Aproximadamente» importa: no estamos afirmando una esfera geométrica perfecta. Es una aplicación singular de una afirmación universal, distinta del silogismo de tres clases.

Referencia: NASA explica la forma aproximadamente esférica de los planetas.

Condicionales, disyunciones y verdad de las premisas

EJEMPLO 09

Silogismo hipotético: dormirse y no ir al cine

p: me duermo; q: voy al cine; r: me divierto. Las dos relaciones se aceptan como supuestos para la ocasión descrita.

Premisa 1: si me duermo, no voy al cine: p → ¬q

Premisa 2: si no voy al cine, no me divierto: ¬q → ¬r

Conclusión: si me duermo, no me divierto: p → ¬r

Condición: Lógica proposicional clásica; misma persona y ocasión.

Se encadena ¬q tal como aparece, con su negación. Las premisas no son leyes generales: una persona podría divertirse de otras formas. La validez depende de la estructura; la aplicación depende de aceptar ambas premisas.

EJEMPLO 10

Libro y diversión: concluir a partir de lo que ocurre

p: leo un buen libro esta tarde; q: me divierto esta tarde. Para obtener q necesitamos afirmar p, no solo decir que me gusta leer.

Premisa 1: si leo un buen libro esta tarde, me divierto: p → q

Premisa 2: leo un buen libro esta tarde: p

Conclusión: me divierto esta tarde: q

Regla: modus ponens

Condición: Condicional aceptado en el ejercicio; misma persona y tarde.

«Me gusta leer» no afirma que esté leyendo. Si la conclusión solo repite «leer un buen libro me divierte», no aporta una consecuencia nueva: reitera la primera premisa. Al afirmar la lectura efectiva en la segunda premisa, sí podemos obtener q.

EJEMPLO 11

Silogismo disyuntivo: dos rutas

p: tomo la ruta norte; q: tomo la ruta sur. Acepta que tomaré al menos una de las dos.

Premisa 1: tomo la ruta norte o la ruta sur: p ∨ q

Premisa 2: no tomo la ruta sur: ¬q

Conclusión: tomo la ruta norte: p

Condición: Mismo recorrido; disyunción inclusiva y premisas aceptadas.

La disyunción es inclusiva. Negar una alternativa deja la otra. En cambio, afirmar la ruta sur no permitiría negar la norte si pudieran recorrerse ambas.

EJEMPLO 12

Motocicletas: forma válida, premisas discutibles

S son motocicletas; M, vehículos cómodos para una persona concreta; P, vehículos cuya conducción resulta placentera para esa persona.

Premisa mayor: todos los vehículos cómodos resultan placenteros de conducir

Premisa menor: todas las motocicletas son vehículos cómodos

Conclusión: todas las motocicletas resultan placenteras de conducir

Forma válida: todo M es P; todo S es M; por tanto, todo S es P

Condición: Misma persona, situación y criterio de comodidad y placer.

La conclusión se sigue si se aceptan ambas premisas. Pero comodidad y placer dependen del criterio fijado, y las afirmaciones universales no se han demostrado. La forma válida no convierte esas premisas en hechos.

Errores, contraejemplos y existencia

EJEMPLO 13

Platón: una conclusión conocida no valida el razonamiento

Considera las afirmaciones «Platón fue un gran filósofo» y «todos los griegos eran grandes filósofos». ¿Permiten concluir que Platón era griego?

Premisa 1: Platón pertenece a la clase F de grandes filósofos

Premisa 2: todos los miembros de G (griegos) pertenecen a F

Conclusión propuesta: Platón pertenece a G

Forma inválida: a pertenece a F; G está incluida en F; por tanto, a pertenece a G

Condición: Significados constantes; universales sin existencia implícita.

Pertenecer a F no obliga a pertenecer a G. Un modelo con a en F pero fuera de G refuta la forma. Ese modelo prueba un fallo lógico, no niega la biografía de Platón. Además, «todos los griegos eran grandes filósofos» no es una premisa histórica aceptable. El ejemplo no debe presentarse como una demostración correcta.

EJEMPLO 14

Error: compartir una clase no vuelve iguales las otras

S son cuadrados; P son triángulos; M son polígonos. Ambas premisas son verdaderas con las definiciones habituales.

Premisa 1: todos los cuadrados son polígonos

Premisa 2: todos los triángulos son polígonos

Conclusión propuesta: todos los cuadrados son triángulos

La conclusión no se sigue: un cuadrado es polígono y no es triángulo

Condición: Significados constantes; universales sin existencia implícita.

Las clases S y P pueden ocupar partes distintas de M. Como modelo abstracto basta S = {a}, M = {a, b}, P = {b}: ambas inclusiones se cumplen y S no está incluida en P. Es el fallo del término medio no distribuido.

EJEMPLO 15

Error: dos «algunos» pueden hablar de personas distintas

En un grupo de dos personas, S significa estudia; M, lee; P, pinta. Observa a Ana y Luis.

Premisa 1: algunas personas que estudian leen

Premisa 2: algunas personas que leen pintan

Conclusión propuesta: algunas personas que estudian pintan

Contraejemplo: Ana estudia y lee, pero no pinta; Luis lee y pinta, pero no estudia

Condición: Significados constantes; universales sin existencia implícita.

Ana satisface la primera premisa y Luis, la segunda. No hay motivo para que las dos afirmaciones hablen de la misma persona. En el grupo descrito, la conclusión es falsa aunque ambas premisas son verdaderas.

Dos personas distintas cumplen las dos premisas
PersonaEstudia (S)Lee (M)Pinta (P)
AnaSíSíNo
LuisNoSíSí
En este modelo solo están Ana y Luis. Hay estudiantes lectores y lectores pintores, pero ninguna persona es estudiante y pintora.

EJEMPLO 16

Error: obtener existencia de dos universales

En un catálogo, S son fichas rojas; M, fichas redondas; P, fichas grandes. Solo hay una ficha a, grande y redonda, que no es roja.

Premisa 1: todas las fichas redondas son grandes

Premisa 2: todas las fichas rojas son redondas

Conclusión universal válida: todas las fichas rojas son grandes

Conclusión particular no justificada: algunas fichas rojas son grandes

Condición: Significados constantes; universales sin existencia implícita.

Al no haber fichas rojas, ninguna contradice la segunda premisa ni la conclusión universal. Pero «algunas fichas rojas» exige que exista al menos una. Usamos la interpretación moderna: las universales no garantizan por sí solas existencia.

Un catálogo sin fichas rojas
ClaseContenido
Rojas (S)Ninguna ficha: conjunto vacío
Redondas (M)Solo la ficha a
Grandes (P)Solo la ficha a
El catálogo contiene la ficha a, grande y redonda, pero no roja. Todas las rojas son redondas y todas las redondas son grandes; no existe ninguna roja grande.

EJEMPLO 17

Cómo declarar la existencia que falta

Partimos de las mismas dos inclusiones: todo M es P y todo S es M. Ahora se informa además de que hay al menos un S.

Premisa 1: todo M es P

Premisa 2: todo S es M

Dato adicional explícito: existe al menos un S

Conclusión: algún S es P

Condición: Significados constantes; universales sin existencia implícita.

El S existente es M por la segunda premisa y P por la primera. La conclusión particular ya está justificada. Hay dos premisas universales y una condición adicional de existencia: no debe ocultarse como si saliera solo de las dos primeras.

EJEMPLO 18

Error: cambiar el significado de «banco»

Una palabra repetida no siempre representa el mismo término. Compara banco como entidad financiera y banco como asiento.

Premisa 1: todos los bancos financieros son entidades financieras

Premisa 2: este asiento del parque es un banco para sentarse

Conclusión propuesta: este asiento es una entidad financiera

Condición: Distinguir los dos sentidos de banco; el asiento designado existe.

No hay un término medio único: «banco financiero» y «banco para sentarse» son clases diferentes. Un modelo con un asiento que no sea entidad financiera satisface las dos premisas y refuta la conclusión. Unir las dos clases por escribir la misma palabra introduce una premisa inexistente.

Orden de las premisas y negación

EJEMPLO 19

Cambiar el orden no cambia la premisa mayor

Escribe primero la afirmación sobre humanos. La conclusión sigue siendo «todos los humanos son animales».

Primera premisa escrita: todos los humanos son mamíferos — premisa menor

Segunda premisa escrita: todos los mamíferos son animales — premisa mayor

Conclusión: todos los humanos son animales

S: humanos; P: animales; M: mamíferos

Condición: Significados constantes; universales sin existencia implícita.

La premisa mayor contiene el predicado de la conclusión, P; la menor contiene su sujeto, S. Los nombres describen su función, no su lugar en la lista ni su importancia.

EJEMPLO 20

«No todos» y una conclusión particular negativa

P son documentos aprobados; M, documentos revisados; S, documentos del expediente. Se conoce que todo aprobado fue revisado y que no todos los del expediente lo fueron.

Premisa mayor: todos los documentos aprobados fueron revisados

Premisa menor: algunos documentos del expediente no fueron revisados

Conclusión: algunos documentos del expediente no están aprobados

Forma: todo P es M; algún S no es M; por tanto, algún S no es P

Condición: Significados constantes; universales sin existencia implícita.

El documento S que quedó fuera de M no puede ser P, porque todos los P están en M. «No todos los S son M» equivale aquí a «algún S no es M»; no equivale a «ningún S es M». Hay un testigo de existencia.

Ejercicios y método

CONSULTA

Ocho ejercicios: ¿se sigue la conclusión?

Resuelve cada caso antes de leer la segunda columna. Un contraejemplo debe conservar verdaderas todas las premisas y hacer falsa la conclusión.

Condición: Significados constantes; universales sin existencia implícita.

Las clases pueden estar vacías salvo que una premisa o condición diga lo contrario. En un contraejemplo de dos objetos, los conjuntos indicados describen el modelo completo.

Ejercicios resueltos · 1–4
Premisas y conclusión propuestaSolución
Todo M es P; todo S es M. ¿Todo S es P?Sí. Inclusión encadenada.
Ningún M es P; algún S es M. ¿Algún S no es P?Sí. El mismo S que es M queda fuera de P.
Todo S es M; todo P es M. ¿Todo S es P?No. S = {a}, M = {a, b}, P = {b}.
Algún S es M; algún M es P. ¿Algún S es P?No. S = {a}, M = {a, b}, P = {b}.
S, M y P representan clases; a y b, objetos distintos. En los dos últimos ejercicios, p, q y r son proposiciones. La o es inclusiva.
Ejercicios resueltos · 5–8
Premisas y conclusión propuestaSolución
Todo M es P; todo S es M. ¿Algún S es P?No sin existencia. S vacío; M = P = {a}.
Todo P es M; algún S no es M. ¿Algún S no es P?Sí. El S fuera de M tampoco puede ser P.
p → q; q → r. ¿p → r?Sí. Silogismo hipotético.
p ∨ q; q. ¿¬p?No. Con p = V y q = V las premisas son V y ¬p es F.
S, M y P representan clases; a y b, objetos distintos. En los dos últimos ejercicios, p, q y r son proposiciones. La o es inclusiva.

CONSULTA

Método de revisión y cuatro formas básicas

En un silogismo categórico, empieza por la conclusión para identificar S y P; después localiza el término M que enlaza las premisas.

1. Separa las dos premisas y la conclusión

2. Fija un solo significado para cada término y un mismo universo

3. Distingue todo, ningún, algún y algún… no

4. Comprueba si alguna afirmación exige existencia

5. Explica por qué la conclusión se sigue o construye un contraejemplo

6. Evalúa por separado si las premisas son verdaderas

Condición: Significados constantes; universales sin existencia implícita.

Para las proposiciones con si… entonces u o, revisa las conectivas y sus reglas. No reduzcas una afirmación como «todo S es P» a una sola letra si lo que necesitas comprobar es su relación entre clases.

Cuatro tipos de proposiciones categóricas
TipoFormaQué afirma
ATodo S es PNo hay S fuera de P
ENingún S es PNo hay objetos a la vez S y P
IAlgún S es PExiste al menos un S que es P
OAlgún S no es PExiste al menos un S fuera de P
En la interpretación moderna usada aquí, A y E no afirman por sí solas que existan S. I y O sí. «Algún» significa al menos uno, no necesariamente solo uno ni «algunos pero no todos».

Qué recordar

Referencias