Cubo de una suma
(a + b)3
=a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
Cubo del primero, más el triple de su cuadrado por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
ÁLGEBRA · SUMA Y DIFERENCIA AL CUBO
Binomio al cubo: 18 ejemplos paso a paso
Elevar un binomio al cubo significa multiplicar tres factores iguales: (a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b). El desarrollo incluye los cubos de ambos términos y dos productos centrales.
Estos ejemplos cubren sumas, restas, coeficientes, potencias, varias variables y fracciones. También muestran cómo cambian los signos y cómo reconocer el desarrollo al revés para factorizar.
Fórmulas del binomio al cubo
Identifica dos bloques completos, a y b. En el desarrollo, la potencia de a baja de 3 a 0 y la de b sube de 0 a 3; los coeficientes del patrón son 1, 3, 3 y 1.
Cubo de una diferencia
(a − b)3
=a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3
Los signos del patrón son +, −, +, −. También puedes usar la fórmula de la suma sustituyendo su segundo bloque por −b. Elige una de esas dos maneras para no contar dos veces el signo negativo.
Las identidades valen para todos los valores reales de a y b. Los signos visibles del resultado dependen también de los valores o expresiones que sustituyas: un bloque puede ser negativo.
No hay obligación de ordenar alfabéticamente. Es habitual presentar las potencias de una variable de mayor a menor. La fórmula tiene cuatro sumandos, aunque los bloques compuestos o las simplificaciones pueden cambiar el número final de términos.
· indica multiplicación. La copia usa * y ^, y conserva fracciones, signos y explicaciones.
10 ejemplos con letras, productos y potencias
La línea intermedia muestra la sustitución en la fórmula. En las restas de esta primera colección se usa la fórmula de la suma con un segundo término negativo.
EJEMPLO 01
Suma con el número 1
(x +1)3
=(x)3 +3 · (x)2 · (1) +3 · (x) · (1)2 +(1)3
=x3 +3 · x2 +3 · x +1
Los cuatro sumandos proceden de x³, 3 · x² · 1, 3 · x · 1² y 1³. No basta con sumar x³ y 1.
EJEMPLO 02
Suma de dos letras
(x +a)3
=(x)3 +3 · (x)2 · (a) +3 · (x) · (a)2 +a3
=x3 +3 · a · x2 +3 · a2 · x +a3
Respecto de x, sus exponentes bajan de 3 a 0, mientras los de a suben de 0 a 3. No se ordenan alfabéticamente.
EJEMPLO 03
Una potencia dentro del binomio
(x2 +y)3
=(x2)3 +3 · (x2)2 · (y) +3 · (x2) · (y)2 +(y)3
=x6 +3 · x4 · y +3 · x2 · y2 +y3
Se eleva al cubo todo x²: (x²)³ = x⁶. En el segundo sumando aparece (x²)² = x⁴; en el tercero se mantiene x².
EJEMPLO 04
El patrón con a y b
(a +b)3
=(a)3 +3 · (a)2 · (b) +3 · (a) · (b)2 +(b)3
=a3 +3 · a2 · b +3 · a · b2 +b3
Los coeficientes del patrón son 1, 3, 3 y 1. Los dos términos centrales son distintos: 3a²b y 3ab².
EJEMPLO 05
Resta con el número 3
(y −3)3
=y3 +3 · (y)2 · (−3) +3 · (y) · (−3)2 +(−3)3
=y3 −9 · y2 +27 · y −27
Se sustituye el segundo término por −3. Su cuadrado es 9 y su cubo es −27; por eso los signos quedan +, −, +, −.
EJEMPLO 06
Un coeficiente en el segundo término
(b +2 · c)3
=(b)3 +3 · (b)2 · (2 · c) +3 · (b) · (2 · c)2 +(2 · c)3
=b3 +6 · b2 · c +12 · b · c2 +8 · c3
Se elevan al cuadrado y al cubo tanto 2 como c. Así, 3b(2c)² = 12bc² y (2c)³ = 8c³.
EJEMPLO 07
Resta con el número 7
(x −7)3
=(x)3 +3 · (x)2 · (−7) +3 · (x) · (−7)2 +(−7)3
=x3 −21 · x2 +147 · x −343
El término cuadrático lleva −21, el lineal +147 y el independiente −343. El cuadrado de −7 es positivo, pero su cubo es negativo.
EJEMPLO 08
Un producto como primer término
(x · y +2)3
=(x · y)3 +3 · (x · y)2 · (2) +3 · (x · y) · (2)2 +(2)3
=x3 · y3 +6 · x2 · y2 +12 · x · y +8
Se cuadran o cubican juntas las variables del producto xy: (xy)² = x²y² y (xy)³ = x³y³.
EJEMPLO 09
Resta de dos productos
(w · x − y · z)3
=(w · x)3 + 3 · (w · x)2 · (−y · z) + 3 · (w · x) · (−y · z)2 + (−y · z)3
=w3 · x3 − 3 · w2 · x2 · y · z + 3 · w · x · y2 · z2 − y3 · z3
El segundo término de la suma equivalente es −yz. Sus potencias impares son negativas: el segundo y el cuarto sumando llevan signo menos. El tercero lleva signo más.
EJEMPLO 10
Resta con el número 1
(a −1)3
=(a)3 +3 · (a)2 · (−1) +3 · (a) · (−1)2 +(−1)3
=a3 −3 · a2 +3 · a −1
El segundo término es −1: sus potencias alternan entre −1 y +1. Se conservan los dos términos centrales −3a² y +3a.
8 variantes y aplicaciones
Los siguientes casos amplían la práctica con coeficientes, fracciones, signos, cálculo mental y reconocimiento inverso.
EJEMPLO 11
Coeficientes en ambos términos: suma
(2 · x + 3 · y)3
=(2 · x)3 + 3 · (2 · x)2 · (3 · y) + 3 · (2 · x) · (3 · y)2 + (3 · y)3
=8 · x3 + 36 · x2 · y + 54 · x · y2 + 27 · y3
Los coeficientes finales son 8, 36, 54 y 27. Los números 1, 3, 3 y 1 pertenecen a la fórmula antes de sustituir 2x y 3y.
EJEMPLO 12
Coeficientes en ambos términos: resta
(2 · x − 3)3
=(2 · x)3 − 3 · (2 · x)2 · 3 + 3 · (2 · x) · 32 − 33
=8 · x3 − 36 · x2 + 54 · x − 27
La fórmula de la diferencia ya incorpora los signos. Se toma a = 2x y b = 3; no se vuelve a sustituir b por −3 en esa fórmula.
EJEMPLO 13
Fracciones en una diferencia
((1/2) · x − (2/3))3
=((1/2) · x)3 − 3 · ((1/2) · x)2 · (2/3) + 3 · ((1/2) · x) · (2/3)2 − (2/3)3
=(1/8) · x3 − (1/2) · x2 + (2/3) · x − (8/27)
Se elevan numerador y denominador a la potencia indicada. Los coeficientes centrales se reducen: 3 · (1/4) · (2/3) = 1/2 y 3 · (1/2) · (4/9) = 2/3.
EJEMPLO 14
Primer término negativo
(−2 · x + 3)3
=(−2 · x)3 + 3 · (−2 · x)2 · 3 + 3 · (−2 · x) · 32 + 33
=−8 · x3 + 36 · x2 − 54 · x + 27
La fórmula de la suma tiene signos + entre bloques, pero al sustituir −2x sus potencias impares son negativas. El cuadrado (−2x)² es positivo.
EJEMPLO 15
Invertir el orden de una resta
(3 − x)3
=(−(x − 3))3
=−(x − 3)3
=−x3 + 9 · x2 − 27 · x + 27
3 − x es el opuesto de x − 3. Como el exponente es impar, sus cubos también son opuestos; en un cuadrado esa diferencia de signo desaparece.
EJEMPLO 16
Cálculo mental: 99 al cubo
993
=(100 − 1)3
=1003 − 3 · 1002 · 1 + 3 · 100 · 12 − 13
=1000000 − 30000 + 300 − 1
=970299
99 está una unidad por debajo de 100. Se conservan los dos términos centrales; calcular solo 100³ − 1³ daría un resultado incorrecto.
EJEMPLO 17
Extensión a un bloque compuesto
((x + 1) − y)3
=(x + 1)3 − 3 · (x + 1)2 · y + 3 · (x + 1) · y2 − y3
=x3 + 3 · x2 + 3 · x + 1 − 3 · x2 · y − 6 · x · y − 3 · y + 3 · x · y2 + 3 · y2 − y3
Se toma x + 1 como un bloque y y como el otro. Al desarrollar los bloques aparecen diez términos. La base expandida x + 1 − y es un trinomio: este caso extiende la identidad, no redefine qué es un binomio.
EJEMPLO 18
Reconocer un cubo para factorizar
8 · x3 − 36 · x2 + 54 · x − 27
=(2 · x)3 − 3 · (2 · x)2 · 3 + 3 · (2 · x) · 32 − 33
=(2 · x − 3)3
No basta con que el primero y el último sean cubos. También deben coincidir los dos términos centrales −36x² y +54x. Es el ejemplo 12 leído en sentido inverso.
Por qué aparecen 1, 3, 3 y 1
Primero multiplicamos dos factores iguales. Después multiplicamos el cuadrado por el tercer factor. Así se obtiene la fórmula sin darla por supuesta.
Paso 1: multiplicar dos factores
(x +a)2
=(x +a) · (x +a)
=(x) · (x) +(x) · (a) +(a) · (x) +(a) · (a)
=(x) · (x) +2 · (a) · (x) +(a) · (a)
=(x)2 +2 · (a) · (x) +(a)2
=x2 +2 · a · x +a2
Los dos productos ax se reúnen en 2ax. Este es el cuadrado que se multiplicará por el tercer factor.
Paso 2: multiplicar por el tercer factor
(x2 +2 · a · x +a2) · (x +a)
=(x2) · (x) +(x2) · (a) +(2 · a · x) · (x) +(2 · a · x) · (a) +(a2) · (x) +(a2) · (a)
=x3 +a · x2 +2 · a · x2 +2 · a2 · x +a2 · x +a3
=x3 +(1 +2) · a · x2 +(2 +1) · a2 · x +a3
=x3 +3 · a · x2 +3 · a2 · x +a3
Cada uno de los tres términos del cuadrado multiplica a x y a a: salen seis productos. Al reunir términos semejantes, los coeficientes centrales son 1 + 2 = 3 y 2 + 1 = 3.
Comprobar una resta al cubo por multiplicación
Comprueba el ejemplo 12 sin volver a aplicar directamente la fórmula del cubo. Obtén primero el cuadrado y distribuye el factor restante:
Verificación de (2x − 3)³
(2 · x − 3)3
=(4 · x2 − 12 · x + 9) · (2 · x − 3)
=8 · x3 − 12 · x2 − 24 · x2 + 36 · x + 18 · x − 27
=8 · x3 − 36 · x2 + 54 · x − 27
Se reúnen −12x² y −24x², y también 36x y 18x. Se recupera el desarrollo del ejemplo 12 y se comprueba la factorización del 18.
Una sustitución numérica sirve para detectar un error, pero una coincidencia en un solo valor no prueba la identidad. Para comprobarla en general, desarrolla los productos y reúne términos semejantes.
Errores frecuentes
- Omitir los términos centrales: (a + b)³ no es, en general, a³ + b³. Por ejemplo, con a = b = 1 se obtiene 8, mientras 1³ + 1³ da 2.
- Poner todos los signos positivos en una resta: en (a − b)³ el segundo y el cuarto sumando del patrón son negativos.
- Aplicar dos veces el signo: usa a − b con la fórmula de la diferencia, o a + (−b) con la de la suma.
- Cubicar solo la variable: (2x)³ = 8x³, no 2x³.
- Sumar exponentes en una potencia de potencia: (x²)³ = x⁶, no x⁵.
- Confundir invertir una resta con cambiar el orden de una suma: (b − a)³ = −(a − b)³.
Una suma de cubos como a³ + b³ es otra expresión, con su propia factorización. No se puede sustituir por (a + b)³.
Referencia
OpenStax: teorema del binomio y coeficientes de sus desarrollos.