Producto de conjugados
(a + b) · (a − b)
=a2 − b2
Se resta el cuadrado del bloque que cambia de signo al cuadrado del bloque que se mantiene. La identidad vale para todos los valores reales de a y b.
ÁLGEBRA · DIFERENCIA DE CUADRADOS
Binomios conjugados: 18 ejemplos paso a paso
Dos binomios son conjugados cuando contienen las mismas dos expresiones, pero una se suma en un factor y se resta en el otro. Su producto es una diferencia de cuadrados: (a + b)(a − b) = a² − b².
Los ejemplos muestran coeficientes, potencias, fracciones y varias variables. También aprenderás qué cambia al invertir una resta, cómo usar la identidad para calcular y cómo recorrerla al revés para factorizar.
Cómo reconocer los conjugados
Busca una expresión que se mantiene y otra que cambia de signo. Ambas deben coincidir por completo, incluidos coeficientes y exponentes. En (3x + 2y)(3x − 2y), esos bloques son 3x y 2y.
El orden de los factores completos puede cambiar. Lo que debes conservar es la forma de cada resta: a − b y b − a son opuestos. a y b también pueden ser bloques compuestos, pero entonces puede ser necesario seguir desarrollando el resultado.
· indica multiplicación. La copia utiliza * y ^, conservando los signos, las fracciones y la explicación.
Por qué se cancelan los productos cruzados
La distributiva produce cuatro productos. Dos son opuestos y se suman en cero:
Comprobación por multiplicación
(x + a) · (x − a)
=x · x + x · ( −a) + a · x + a · ( −a)
=x2 − a · x + a · x − a2
=x2 − a2
−ax y +ax se cancelan. El último producto es a · (−a) = −a²; de ahí procede el signo menos entre los cuadrados.
10 ejemplos con letras, productos y potencias
La línea intermedia identifica qué expresiones se elevan al cuadrado. Se aplica la misma regla aunque cambien las letras o aparezcan productos dentro de los términos.
EJEMPLO 01
Conjugados con el número 1
(x +1) · (x −1)
=(x)2 − (1)2
=x2 −1
Las expresiones son x y 1. Como 1² = 1, se obtiene x² − 1.
EJEMPLO 02
El patrón con dos letras
(x +a) · (x −a)
=(x)2 − (a)2
=x2 −a2
Las expresiones son x y a. Los productos cruzados −ax y +ax se cancelan.
EJEMPLO 03
Una potencia en el primer término
(x2 +y) · (x2 −y)
=(x2)2 − (y)2
=x4 −y2
Se eleva al cuadrado x² completo: (x²)² = x⁴. El segundo cuadrado es y².
EJEMPLO 04
Dos variables diferentes
(a +b) · (a −b)
=(a)2 − (b)2
=a2 −b2
Los términos a y b coinciden en ambos factores. Solo cambia el signo de b.
EJEMPLO 05
Conjugados con el número 3
(y +3) · (y −3)
=(y)2 − (3)2
=y2 −9
El cuadrado de 3 es 9: el término independiente es −9, no −3.
EJEMPLO 06
Un coeficiente en el segundo término
(b +2 · c) · (b −2 · c)
=(b)2 − (2 · c)2
=b2 −4 · c2
El segundo término completo es 2c: su cuadrado es 4c², no 2c².
EJEMPLO 07
Conjugados con el número 7
(x +7) · (x −7)
=(x)2 − (7)2
=x2 −49
Los términos +7x y −7x se cancelan y 7 · (−7) = −49.
EJEMPLO 08
El primer término es un producto
(x · y +2) · (x · y −2)
=(x · y)2 − (2)2
=x2 · y2 −4
Se eleva al cuadrado todo xy, por eso aparecen x² e y² multiplicándose.
EJEMPLO 09
Dos productos como términos
(w · x +y · z) · (w · x −y · z)
=(w · x)2 − (y · z)2
=w2 · x2 −y2 · z2
Se cuadran todas las variables de cada producto. Los dos productos cruzados son opuestos: +wxyz y −wxyz.
EJEMPLO 10
La variable puede cambiar de nombre
(a +1) · (a −1)
=(a)2 − (1)2
=a2 −1
Se aplica el mismo patrón con a en lugar de x. Cambiar la letra no cambia la operación.
8 variantes y aplicaciones
Además de desarrollar productos, la identidad sirve para calcular números cercanos y para convertir una diferencia de cuadrados en factores.
EJEMPLO 11
Coeficientes en los dos términos
(3 · x + 2 · y) · (3 · x − 2 · y)
=(3 · x)2 − (2 · y)2
=9 · x2 − 4 · y2
Se cuadran los coeficientes junto con las variables: 3² = 9 y 2² = 4. Las expresiones 3x y 2y coinciden en los dos factores.
EJEMPLO 12
Conjugados con fracciones
((1/2) · x + (3/5)) · ((1/2) · x − (3/5))
=((1/2) · x)2 − (3/5)2
=(1/4) · x2 − (9/25)
Los cuadrados son x²/4 y 9/25. Numerador y denominador se elevan al cuadrado; no se resta 3/5 sin cuadrarlo.
EJEMPLO 13
Cambiar el orden de los factores
(x − 5) · (x + 5)
=(x + 5) · (x − 5)
=x2 − 25
La multiplicación es conmutativa. Intercambiar los dos factores completos no cambia el resultado.
EJEMPLO 14
Invertir la resta sí cambia el resultado
(5 − x) · (x + 5)
=(5 − x) · (5 + x)
=52 − x2
=25 − x2
Ahora la expresión común que se conserva es 5 y la que cambia de signo es x. No es lo mismo que (x − 5)(x + 5). Si x = 6, el producto vale −11: una diferencia de cuadrados puede ser negativa.
EJEMPLO 15
Un término común negativo
( −2 · x + 3) · ( −2 · x − 3)
=( −2 · x)2 − 32
=4 · x2 − 9
El primer bloque es −2x y su cuadrado es positivo: (−2x)² = 4x². Los términos cruzados +6x y −6x se cancelan.
EJEMPLO 16
Cálculo mental: 49 por 51
49 · 51
=(50 − 1) · (50 + 1)
=502 − 12
=2500 − 1
=2499
49 y 51 están a una unidad de 50. Su producto se calcula como 50² − 1. Es una aplicación numérica de la identidad.
EJEMPLO 17
La identidad con una expresión compuesta
((x + 1) + 2 · y) · ((x + 1) − 2 · y)
=(x + 1)2 − (2 · y)2
=x2 + 2 · x + 1 − 4 · y2
Se toma x + 1 como un bloque y 2y como el otro. Después se desarrolla el primer cuadrado, sin omitir 2x. Cada factor expandido tiene tres términos; es una extensión de la identidad a bloques compuestos, no una nueva definición de binomio.
EJEMPLO 18
Recorrer la identidad al revés: factorizar
16 · x4 − 81
=(4 · x2)2 − 92
=(4 · x2 + 9) · (4 · x2 − 9)
=(4 · x2 + 9) · (2 · x + 3) · (2 · x − 3)
Los cuadrados son (4x²)² y 9². Al factorizar aparecen los conjugados 4x² + 9 y 4x² − 9; el segundo factor vuelve a ser una diferencia de cuadrados y se descompone una vez más. 4x² + 9 no tiene factores lineales reales.
Casos que no son binomios conjugados
No basta con que aparezcan una suma y una resta. Los dos bloques deben ser los mismos:
Los términos 2 y 3 son diferentes
(x + 2) · (x − 3)
=x2 − 3 · x + 2 · x − 6
=x2 − x − 6
Los productos cruzados no se cancelan: −3x + 2x = −x. Este producto tiene término común x, pero sus factores no son conjugados.
Dos factores iguales forman un cuadrado
(x − 3)2
=(x − 3) · (x − 3)
=x2 − 6 · x + 9
Los dos factores tienen la misma resta. No aparece un factor x + 3 que cancele los términos cruzados. El resultado conserva −6x.
Una suma de cuadrados tampoco sigue la misma factorización: x² + 9 no es (x + 3)(x − 3), porque ese producto da x² − 9. Sobre los reales, x² + 9 no se descompone en factores lineales.
Comprobar una diferencia de cuadrados factorizada
Para comprobar el primer paso de factorización del ejemplo 18, vuelve a multiplicar los conjugados:
Volver de los factores al polinomio
(4 · x2 + 9) · (4 · x2 − 9)
=16 · x4 − 36 · x2 + 36 · x2 − 81
=16 · x4 − 81
Se cancelan −36x² y +36x². La comprobación recupera todos los términos de la diferencia inicial.
Errores que conviene evitar
- Cuadrar solo la variable: (2c)² = 4c², no 2c².
- Confundir potencias: (x²)² = x⁴, no x².
- Invertir la resta sin cambiar el resultado: (5 − x)(x + 5) = 25 − x².
- Dejar un término central en conjugados: comprueba que los productos cruzados son opuestos.
- Suponer un resultado siempre positivo: a² − b² es negativo si |b| es mayor que |a|.
La multiplicación completa comprueba la identidad. Sustituir un solo valor puede detectar un fallo, pero una coincidencia aislada no demuestra que dos expresiones sean iguales.
Referencias
OpenStax: producto de conjugados y factorización de diferencias de cuadrados.