Cuadrado de una suma
(a + b)2
=a2 + 2 · a · b + b2
Dos factores iguales. Conserva el doble producto.
ÁLGEBRA · RECONOCER Y DESARROLLAR
Productos notables: fórmulas y 16 ejemplos resueltos
Los productos notables son multiplicaciones algebraicas con patrones que permiten anticipar su desarrollo. La clave es reconocer la estructura antes de aplicar una fórmula.
Esta guía compara cuatro familias habituales: cuadrados, conjugados, productos con término común y cubos de binomios. Incluye signos, fracciones y expresiones compuestas; no es una lista de todos los productos notables posibles.
Las fórmulas y sus señales
Las identidades valen para todos los valores reales de sus letras. a, b y t pueden representar expresiones completas, como 3x, x + 1 o una fracción. Sustituye siempre el bloque entero y conserva sus paréntesis.
Cuadrado de una resta
(a − b)2
=a2 − 2 · a · b + b2
El signo menos va en el doble producto; el último cuadrado se suma.
Binomios conjugados
(a + b) · (a − b)
=a2 − b2
Mismas dos expresiones; solo cambia el signo entre ellas.
Binomios con término común
(t + a) · (t + b)
=t2 + (a + b) · t + a · b
t es la expresión común completa. a y b se toman con su signo.
Cubo de una suma
(a + b)3
=a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
Tres factores iguales. Los coeficientes son 1, 3, 3 y 1.
Cubo de una resta
(a − b)3
=a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3
Los signos alternan y se conservan los dos términos mixtos.
No elijas por el número de términos del resultado: al sustituir expresiones puede haber reducciones o cancelaciones. Mira la operación y la forma de los factores.
· indica multiplicación. Al copiar se usa * para multiplicar y ^ para las potencias. Cada fórmula y ejemplo conserva su explicación.
4 ejemplos de binomios al cuadrado
El binomio se multiplica por sí mismo. La distributiva explica por qué aparece el doble producto, tanto en sumas como en restas.
EJEMPLO 01
Cuadrado de una suma: de dónde sale 8x
(x + 4)2
=(x + 4) · (x + 4)
=x · x + x · 4 + 4 · x + 4 · 4
=x2 + 4 · x + 4 · x + 16
=x2 + 8 · x + 16
Los dos productos cruzados son 4x y 4x: juntos forman 8x. La fórmula reúne lo mismo como x² + 2 · x · 4 + 4². El resultado es un trinomio cuadrado perfecto.
EJEMPLO 02
Cuadrado de una resta con coeficiente
(3 · x − 2)2
=(3 · x)2 − 2 · (3 · x) · 2 + 22
=9 · x2 − 12 · x + 4
El primer término completo es 3x: al cuadrarlo se obtiene 9x². La resta afecta al doble producto, mientras que el cuadrado de 2 sigue siendo positivo.
EJEMPLO 03
Cuadrado con fracciones
((1/2) · x + (2/3))2
=((1/2) · x)2 + 2 · ((1/2) · x) · (2/3) + (2/3)2
=(1/4) · x2 + (2/3) · x + (4/9)
Se elevan al cuadrado numerador y denominador: (1/2)² = 1/4 y (2/3)² = 4/9. El doble producto vale (2/3)x.
EJEMPLO 04
Cuadrado con dos variables y una potencia
(a2 + 3 · b)2
=(a2)2 + 2 · a2 · (3 · b) + (3 · b)2
=a4 + 6 · a2 · b + 9 · b2
Las dos expresiones que ocupan el patrón son a² y 3b. El cuadrado de a² es a⁴; el término central conserva ambas variables.
3 ejemplos de binomios conjugados
Las dos expresiones deben coincidir exactamente. Al cambiar solo el signo que las une, los productos cruzados se cancelan.
EJEMPLO 05
Conjugados: los términos cruzados se cancelan
(x + 2) · (x − 2)
=x · x + x · ( −2) + 2 · x + 2 · ( −2)
=x2 − 2 · x + 2 · x − 4
=x2 − 4
La parte repetida es x y la otra es 2, con signos opuestos. Los términos −2x y +2x se cancelan; queda una diferencia de cuadrados.
EJEMPLO 06
Conjugados con coeficientes y dos variables
(2 · a + 5 · b) · (2 · a − 5 · b)
=(2 · a)2 − (5 · b)2
=4 · a2 − 25 · b2
Son conjugados porque las dos expresiones, 2a y 5b, coinciden exactamente en ambos factores. Hay que elevar también los coeficientes.
EJEMPLO 07
Conjugados con una expresión compuesta
((x + 1) + 3) · ((x + 1) − 3)
=(x + 1)2 − 32
=x2 + 2 · x + 1 − 9
=x2 + 2 · x − 8
El primer bloque es x + 1 y el segundo es 3. Se aplica la diferencia de cuadrados a esos bloques completos y después se desarrolla (x + 1)².
4 productos: término común y un contraste
La fórmula sirve cuando el primer bloque de ambos factores es el mismo. Los otros términos se suman y multiplican con sus signos.
EJEMPLO 08
Término común y signos opuestos
(x + 5) · (x − 8)
=x · x + x · ( −8) + 5 · x + 5 · ( −8)
=x2 − 8 · x + 5 · x − 40
=x2 − 3 · x − 40
El término común es x. Los otros términos, +5 y −8, suman −3 y multiplicados dan −40. No son conjugados: 5 y 8 son diferentes.
EJEMPLO 09
Término común con dos restas
(x − 3) · (x − 7)
=x2 + ( −3 − 7) · x + ( −3) · ( −7)
=x2 − 10 · x + 21
La suma de −3 y −7 es −10; su producto es +21. Mantener ambos signos evita cambiar el término independiente.
EJEMPLO 10
El término común puede ser 2x
(2 · x + 3) · (2 · x − 5)
=(2 · x)2 + (3 − 5) · (2 · x) + 3 · ( −5)
=4 · x2 − 4 · x − 15
El término común completo es 2x, no x. Por eso su cuadrado es 4x² y la suma −2 debe multiplicarse por 2x.
EJEMPLO 11
Cuando el término no coincide, usa la distributiva
(2 · x + 3) · (3 · x − 5)
=2 · x · (3 · x) + 2 · x · ( −5) + 3 · (3 · x) + 3 · ( −5)
=6 · x2 − 10 · x + 9 · x − 15
=6 · x2 − x − 15
No apliques directamente la fórmula de término común tomando x como primer término: aquí son 2x y 3x. Multiplicar los cuatro pares resuelve el producto sin forzar ese patrón.
Para practicar más casos, consulta binomios con término común.
4 ejemplos de binomios al cubo
Elevar al cubo significa multiplicar tres veces el mismo binomio. Los términos mixtos son necesarios; no basta elevar cada término por separado.
EJEMPLO 12
Cubo de una suma: tres factores iguales
(x + 4)3
=(x + 4) · (x + 4) · (x + 4)
=(x2 + 8 · x + 16) · (x + 4)
=x2 · x + x2 · 4 + (8 · x) · x + (8 · x) · 4 + 16 · x + 16 · 4
=x3 + 4 · x2 + 8 · x2 + 32 · x + 16 · x + 64
=x3 + 12 · x2 + 48 · x + 64
Primero se forma el cuadrado y luego se multiplica por otro x + 4. Al reducir: 4x² + 8x² = 12x² y 32x + 16x = 48x. La fórmula da esos mismos términos mediante 3 · x² · 4 y 3 · x · 4².
EJEMPLO 13
Cubo de una resta
(x − 2)3
=x3 − 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 − 23
=x3 − 6 · x2 + 12 · x − 8
Los signos del patrón alternan: +, −, +, −. El término 3 · x · 2² es positivo; una resta dentro del binomio no vuelve negativos todos los términos.
EJEMPLO 14
Cubo con coeficientes y dos variables
(2 · a + b)3
=(2 · a)3 + 3 · (2 · a)2 · b + 3 · (2 · a) · b2 + b3
=8 · a3 + 12 · a2 · b + 6 · a · b2 + b3
Se toma 2a como primer bloque completo. Los factores 2³, 3 · 2² y 3 · 2 producen los coeficientes 8, 12 y 6.
EJEMPLO 15
Cubo con una fracción
(x − (1/2))3
=x3 − 3 · x2 · (1/2) + 3 · x · (1/2)2 − (1/2)3
=x3 − (3/2) · x2 + (3/4) · x − (1/8)
Las potencias de 1/2 son 1/4 y 1/8. Los signos siguen el cubo de una resta y las fracciones se conservan de forma exacta.
Distingue una suma de cubos del cubo de una suma
Son operaciones diferentes aunque aparezcan las mismas letras y números.
EJEMPLO 16
Una suma de cubos es una expresión distinta
x3 + 64
=(x + 4) · (x2 − 4 · x + 16)
x³ + 64 no es (x + 4)³: le faltan 12x² y 48x. Aquí se muestra una factorización de la suma de cubos; no es el desarrollo del binomio al cubo.
Errores frecuentes al elegir una fórmula
- Omitir el doble producto: (x + 4)² da x² + 8x + 16, no x² + 16.
- Confundir cuadrado y conjugados: (x − 2)² da x² − 4x + 4; (x + 2)(x − 2) da x² − 4.
- Cuadrar solo la variable: (3x)² = 9x², no 3x².
- Perder los signos: en el cubo de una resta, el término con el cuadrado del segundo bloque lleva +.
- Forzar un término común: 2x y 3x no son el mismo bloque.
Cómo comprobar el desarrollo
Multiplica cada término de un factor por todos los del otro y reúne semejantes. Para un cubo, calcula primero el cuadrado y multiplícalo por el tercer factor. Los ejemplos 1, 5, 8 y 12 muestran esas comprobaciones completas.
Una sustitución numérica puede ayudarte a detectar un fallo, pero una coincidencia aislada no demuestra una identidad. Comparar el desarrollo completo permite revisar todos los coeficientes.
Desarrollar pasa de un producto a una suma. Hacer el recorrido inverso corresponde a la factorización.
Referencias
OpenStax: cuadrados y conjugados; expansiones de potencias de binomios.