15 ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales resueltos
Resolver un sistema consiste en encontrar valores que satisfagan todas sus ecuaciones simultáneamente. Para dos incógnitas, la solución se escribe como una pareja ordenada (x, y); para tres, como un triple (x, y, z).
Los ejemplos muestran sustitución, reducción, igualación y método gráfico, además de sistemas con una solución, ninguna o infinitas. Incluyen fracciones, decimales, problemas cotidianos y tres incógnitas, con comprobación de todas las ecuaciones.
Qué es un sistema lineal
Una ecuación lineal se puede escribir como una suma de incógnitas multiplicadas por coeficientes constantes, igualada a un término independiente. Por ejemplo, 2x + 3y = 12. No contiene productos entre incógnitas, como xy, potencias como x² ni incógnitas en denominadores, como 1/x.
Un sistema reúne ecuaciones con incógnitas compartidas y exige que se cumplan a la vez. Tener tantas ecuaciones como incógnitas no garantiza una solución única: algunas ecuaciones pueden repetir información o contradecirse.
En dos variables, ax + by = c representa una recta si a y b no son ambos cero. En tres variables, ax + by + cz = d representa un plano si alguno de esos tres coeficientes es distinto de cero. La solución común de varios planos puede ser un punto, una recta, un plano o ningún punto.
Sustitución, reducción e igualación
EJEMPLO 01
Sustitución paso a paso
Resuelve las dos ecuaciones a la vez.
E1: 4x + 5y = 13
E2: 2x + 9y = 13
De E1: x = (13 − 5y)/4
En E2: 2((13 − 5y)/4) + 9y = 13
13/2 − (5/2)y + 9y = 13
13/2 − (5/2)y + (18/2)y = 13
13/2 + (13/2)y = 13
(13/2)(1 + y) = 13
1 + y = 2 → y = 2 − 1 = 1
En E1: 4x + 5(1) = 13
4x + 5 = 13 → 4x = 13 − 5 = 8
x = 8/4 = 2
Solución: (x, y) = (2, 1)
Comprobación E1: 4·2 + 5·1 = 13
Comprobación E2: 2·2 + 9·1 = 13
Despejar x permite sustituirlo por una expresión equivalente en la segunda ecuación. Se divide entre 4, no se resta 1 a 4. La pareja final debe satisfacer ambas igualdades.
EJEMPLO 02
Reducción multiplicando las dos ecuaciones
Elimina y mediante coeficientes opuestos.
E1: 2x + 3y = 12
E2: 3x − 2y = 5
2E1: 4x + 6y = 24
3E2: 9x − 6y = 15
Sumamos: 13x = 39 → x = 3
En E1: 6 + 3y = 12 → y = 2
Solución: (3, 2)
Comprobación: 2·3 + 3·2 = 12; 3·3 − 2·2 = 5
Multiplicamos cada ecuación completa, incluido el segundo miembro. La suma elimina y; conservamos una ecuación para recuperar su valor.
EJEMPLO 03
Igualación con y ya despejada
Iguala las dos expresiones que representan y.
E1: y = 2x − 1
E2: y = −x + 5
2x − 1 = −x + 5
3x = 6 → x = 2
y = 2·2 − 1 = 3
Solución: (2, 3)
Comprobación: 3 = 2·2 − 1; 3 = −2 + 5
Como ambos miembros derechos son iguales a y, deben ser iguales entre sí. Después se sustituye x en cualquiera de las ecuaciones originales.
EJEMPLO 04
Un sistema con fracciones
Elimina primero los denominadores constantes.
E1: x/2 + y/3 = 2
E2: x/3 − y/2 = −5/6
Multiplicamos ambas por 6:
3x + 2y = 12; 2x − 3y = −5
Multiplicamos la primera por 3 y la segunda por 2:
9x + 6y = 36; 4x − 6y = −10
Sumamos: 13x = 26 → x = 2
6 + 2y = 12 → y = 3
Comprobación: 2/2 + 3/3 = 2
2/3 − 3/2 = 4/6 − 9/6 = −5/6
Los denominadores son números distintos de cero. Multiplicar todos los términos por su mínimo común múltiplo produce un sistema equivalente.
EJEMPLO 05
Un sistema con decimales
Convierte los coeficientes decimales en enteros.
E1: 0,5x + 0,2y = 1,9
E2: 0,3x − 0,4y = 0,1
Multiplicamos por 10: 5x + 2y = 19; 3x − 4y = 1
Doble de la primera: 10x + 4y = 38
Sumando la segunda: 13x = 39 → x = 3
15 + 2y = 19 → y = 2
Comprobación: 0,5·3 + 0,2·2 = 1,9
0,3·3 − 0,4·2 = 0,1
La coma es decimal. Multiplicar por 10 evita redondeos; los decimales dados en este ejercicio se tratan como exactos.
EJEMPLO 06
Solución con un valor negativo y otro cero
Resuelve sin descartar valores por su signo.
E1: x + y = −2
E2: 2x − y = −4
Sumamos: 3x = −6 → x = −2
−2 + y = −2 → y = 0
Solución: (−2, 0)
Comprobación: −2 + 0 = −2; 2·(−2) − 0 = −4
Cero es un valor posible para una incógnita. Un signo negativo tampoco invalida la solución si no hay una condición del contexto que lo excluya.
Una solución, ninguna o infinitas
EJEMPLO 07
Sistema incompatible: no hay solución
Comprueba qué ocurre cuando los coeficientes son proporcionales pero los términos independientes no.
E1: x + y = 3
E2: 2x + 2y = 8
E2 − 2E1: 0 = 2
Conjunto solución: ∅
La contradicción muestra que ninguna pareja satisface ambas ecuaciones. Geométricamente, y = 3 − x e y = 4 − x son rectas paralelas distintas.
x + y = 3
2x + 2y = 8
Ejemplo 7: las rectas no comparten ningún punto.
EJEMPLO 08
Sistema dependiente: infinitas soluciones
Comprueba qué ocurre cuando la segunda ecuación repite la primera.
E1: x + y = 3
E2: 2x + 2y = 6
E2 − 2E1: 0 = 0
Soluciones: (x, y) = (t, 3 − t), con t real
Comprobación: t + (3 − t) = 3
2t + 2(3 − t) = 6
0 = 0 no fija x ni y, pero sigue vigente x + y = 3. Por eso no sirve cualquier pareja: solo los puntos de esa recta. Las dos ecuaciones representan la misma recta.
x + y = 3
2x + 2y = 6
Ejemplo 8: ambas ecuaciones coinciden. El trazo discontinuo se superpone al continuo.
EJEMPLO 09
Método gráfico: el punto común
Representa las rectas y comprueba su intersección.
E1: x + y = 4 → y = 4 − x
E2: x − y = 0 → y = x
Puntos de E1: (0, 4) y (4, 0)
Puntos de E2: (0, 0) y (4, 4)
Intersección: (2, 2)
Comprobación: 2 + 2 = 4; 2 − 2 = 0
Cada recta contiene las soluciones de una ecuación. El sistema exige pertenecer a las dos. El dibujo ayuda a localizar el punto; sustituir sus coordenadas confirma el valor exacto.
x + y = 4
x − y = 0
Ejemplo 9: la intersección (2, 2) satisface las dos ecuaciones.
Plantear un sistema desde un problema
EJEMPLO 10
Problema de entradas: construir el sistema
Se vendieron 10 entradas: las de adulto cuestan 8 € y las infantiles 5 €. La recaudación fue de 65 €. ¿Cuántas se vendieron de cada tipo?
x = entradas de adulto; y = entradas infantiles
x + y = 10
8x + 5y = 65
Restamos 5 veces la primera: 3x = 15 → x = 5
y = 10 − 5 = 5
Comprobación: 5 + 5 = 10; 8·5 + 5·5 = 65
Condición: x e y enteros no negativos.
Una ecuación cuenta entradas y otra suma su precio en euros. Las unidades explican los coeficientes. La solución cumple que las cantidades sean enteras y no negativas.
Más incógnitas y más ecuaciones
EJEMPLO 11
Tres incógnitas y una solución única
Elimina z para obtener un sistema de dos incógnitas.
E1: x + y + z = 6
E2: 2x − y + z = 3
E3: x + 2y − z = 2
E2 − E1: x − 2y = −3
E3 + E1: 2x + 3y = 8
Sustituimos x = 2y − 3: 7y − 6 = 8
y = 2; x = 1; z = 6 − 1 − 2 = 3
Solución: (x, y, z) = (1, 2, 3)
Comprobación E1: 1 + 2 + 3 = 6
Comprobación E2: 2·1 − 2 + 3 = 3
Comprobación E3: 1 + 2·2 − 3 = 2
Cada ecuación representa un plano en el espacio. Estos tres planos tienen un único punto común. Eliminar una incógnita reduce el problema; no cambia el orden de las coordenadas.
EJEMPLO 12
Tres ecuaciones no garantizan una solución única
Analiza un sistema con una ecuación repetida.
E1: x + y + z = 3
E2: 2x + 2y + 2z = 6
E3: x − y = 1
E2 = 2E1; solo repite información
Tomamos y = t. De E3: x = t + 1
En E1: z = 2 − 2t
Soluciones: (t + 1, t, 2 − 2t), t real
E1: (t + 1) + t + (2 − 2t) = 3
E2: 2(t + 1) + 2t + 2(2 − 2t) = 6
E3: (t + 1) − t = 1
La primera y la segunda ecuación representan el mismo plano. Su intersección con el tercero es una recta. La familia describe todos sus puntos, no un único triple.
EJEMPLO 13
Tres incógnitas y ninguna solución
Busca una contradicción antes de hacer despejes largos.
E1: x + y + z = 3
E2: 2x + 2y + 2z = 8
E3: x − y = 1
E2 − 2E1: 0 = 2
No existe ningún triple solución
Los dos primeros planos son paralelos distintos: el segundo equivale a x + y + z = 4. No comparten puntos, así que añadir el tercer plano no puede crear una solución.
EJEMPLO 14
Más ecuaciones que incógnitas
Resuelve y verifica también la tercera ecuación.
E1: x + y = 3
E2: x − y = 1
E3: 2x + y = 5
De E1 + E2: 2x = 4 → x = 2
De E1: y = 1
E1: 2 + 1 = 3; E2: 2 − 1 = 1; E3: 2·2 + 1 = 5
Tener tres ecuaciones y dos incógnitas no obliga a que el sistema sea incompatible. La pareja obtenida de dos ecuaciones debe comprobarse en todas las restantes.
Clasificar un sistema con parámetros
EJEMPLO 15
Un sistema que depende de parámetros
Clasifica según los números reales a y b.
E1: x + y = 2
E2: 2x + ay = b
E2 − 2E1: (a − 2)y = b − 4
Si a ≠ 2: y = (b − 4)/(a − 2)
Entonces x = (2a − b)/(a − 2)
Si a = 2 y b = 4: (x, y) = (t, 2 − t), t real
Si a = 2 y b ≠ 4: no hay solución
Condición: a y b reales; comprobar a ≠ 2 antes de dividir.
Dividir entre a − 2 solo es válido después de separar el caso a = 2. La misma familia de sistemas puede tener una solución, infinitas o ninguna, según sus parámetros.
Forma general: m ecuaciones y n incógnitas
Los subíndices indican la fila de la ecuación y la columna de la incógnita. Cada fila necesita un signo igual y un término independiente.
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
…
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
Los aij son coeficientes conocidos; los bi, términos independientes; x1 a xn son incógnitas. Si una fila tiene todos sus coeficientes cero, 0 = 0 no añade información y 0 = c, con c ≠ 0, hace incompatible el sistema.
Cómo comprobar un sistema resuelto
Conserva las ecuaciones originales. Multiplicar una ecuación exige multiplicar también su segundo miembro.
Usa transformaciones reversibles. Puedes intercambiar ecuaciones, multiplicar una por una constante no nula o sumar un múltiplo de otra conservando las demás.
No confundas 0 = 0 con una pareja concreta. Conserva las restricciones de las ecuaciones que aún aportan información.
Sustituye en todas las ecuaciones. Cumplir solo una o dos no basta si el sistema tiene más.
Revisa el contexto y el dominio. Los parámetros pueden anular un divisor; una cantidad de entradas debe ser entera y no negativa.
Un sistema es compatible determinado si tiene una sola solución; compatible indeterminado si tiene infinitas; e incompatible si no tiene ninguna.
