Disyunción lógica: ejemplos de o inclusiva y exclusiva

6 es par o múltiplo de 3: p ∨ q = V

Exactamente una de esas afirmaciones: p ⊕ q = F

Condición: Se habla del entero 6; ⊕ denota o exclusiva.

En la disyunción inclusiva basta al menos una, y pueden ser ambas. La exclusiva descarta que ambas sean verdaderas.

p = V; q = F

p ∨ q = V

p ⊕ q = V

Condición: Múltiplos enteros.

Se cumple exactamente una afirmación; por eso coinciden ambos tipos de disyunción. 6 no es múltiplo entero de 4.

p = F; q = V

p ∨ q = V

p ⊕ q = V

Condición: Se habla del entero 6.

No importa qué parte sea la verdadera. Cambiar el orden no altera el valor de estas dos conectivas.

p = F; q = F

p ∨ q = F

p ⊕ q = F

Condición: Múltiplos enteros.

No se cumple ninguna alternativa. Este es el único caso falso de la disyunción inclusiva; la exclusiva también es falsa cuando se cumplen ambas.

El plan inclusivo es p ∨ q: admite cine, cena o ambos

Para deducir c hace falta además la premisa (p ∨ q) → c

Con p = F, q = F y c = V no hay contradicción con esa premisa

Condición: Misma persona y salida; → significa si… entonces; regla de gasto solo si se adopta como premisa.

Podría gastar en transporte o en una compra aunque no hiciera ninguno de los dos planes. También podría ir invitado: que ir al cine o cenar implique gastar es una hipótesis del ejercicio, no una ley lógica.

p ∨ q es V si ocurre al menos una de las dos situaciones

Una regla adicional del modelo sería (p ∨ q) → c

¬p ∧ ¬q no permite concluir ¬c

Condición: Situación hipotética; las circunstancias físicas no se deducen del símbolo ∨.

El valor de la disyunción y una consecuencia física son afirmaciones distintas. Puedo mojarme por otra causa. Además, caminar bajo lluvia no asegura por sí solo estar mojado si hay protección; la regla requiere un contexto que la justifique.

Algún foco encendido: p ∨ q

Si se conoce (p ∨ q) → c y se cumple p ∨ q, se deduce c

Con ambos apagados solo sabemos que p ∨ q es F

Condición: Modelo de circuito especificado; se supone que los focos encendidos reciben corriente de ese circuito.

El circuito podría tener otra rama por la que circule corriente aunque ambos focos estén apagados. La inferencia de ¬(p ∨ q) a ¬c es inválida sin otra premisa.

Requisito lingüístico: p ∨ q

Francés y alemán: V ∨ V = V

Ninguno: F ∨ F = F

Condición: Regla hipotética de admisión; mismo solicitante.

Las reglas dadas hacen explícita la lectura inclusiva. Cumplir el requisito lingüístico no garantiza obtener la plaza.

Elección válida: p ⊕ q

Equivale a (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)

Solo fruta o solo helado: V; ambos o ninguno: F

Condición: Exactamente uno de esos dos postres.

La exclusión viene de la condición un único postre. No debe añadirse automáticamente cada vez que aparece la palabra o.

Si ambas acciones se permiten: p ∨ q

Si se exige exactamente una: p ⊕ q

El contexto debe indicar cuál de las dos reglas se pretende

Condición: p: envío un correo; q: llamo, en el periodo acordado.

No es correcto afirmar que toda o del español sea exclusiva o que siempre sea inclusiva. Formalizar exige fijar el sentido de la frase.

A ∪ B = {1, 2, 3, 4}: pertenecer al menos a uno

A △ B = {1, 2, 4}: pertenecer exactamente a uno

3 está en la unión, pero no en la diferencia simétrica

5 no está en ninguna de las dos

Condición: Universo U = {1, 2, 3, 4, 5}.

∨ y ⊕ unen proposiciones; ∪ y △ operan sobre conjuntos. La unión incluye la zona común, mientras que la diferencia simétrica la excluye.

(x < 0) ∨ (x ≥ 3)

Solución: (−∞, 0) ∪ [3, ∞)

0 no cumple; 3 sí cumple; 1 no cumple

Condición: x real; extremos infinitos siempre abiertos.

Se unen los dos intervalos. En este ejemplo las condiciones no pueden cumplirse simultáneamente: usar o exclusiva daría el mismo conjunto, aunque no sea la misma conectiva en general.

¬(p ∨ q) equivale a ¬p ∧ ¬q

No envié el correo y no llamé: ninguna de las dos

Con p = V, q = F, la negación es F

Condición: Lógica clásica; mismo contexto y significado de las letras.

Esta ley de De Morgan exige que ambas partes sean falsas. No se debe sustituir por ¬p ∨ ¬q, que también es verdadera cuando falla solo una.

(p ∨ q) ∨ r equivale a p ∨ (q ∨ r)

p ∨ q ∨ r es V si al menos una parte es V

Solo p = q = r = F produce F

Condición: Regla hipotética que admite uno o más de los documentos.

La asociación no altera la disyunción inclusiva. Tener varios documentos sigue cumpliendo este requisito; el ejemplo no describe trámites reales.

p ∨ (q ∧ r)

Equivale a (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

Si p = F, se necesitan q = V y r = V

Condición: Regla hipotética; o inclusiva.

Los paréntesis agrupan los dos requisitos de la segunda alternativa. No es (p ∨ q) ∧ r: con p = V y r = F, la regla original es V y esta última fórmula es F.

p ∨ p equivale a p

p ∨ ¬p siempre es V

p ⊕ p siempre es F

Condición: La letra p conserva exactamente el mismo significado.

Repetir una alternativa no la vuelve verdadera. En lógica clásica, una proposición y su negación tienen valores opuestos; por eso su disyunción inclusiva es verdadera.

Premisas: p ∨ q; ¬p

Conclusión: q

No basta ¬p sola: la premisa p ∨ q debe ser verdadera

Condición: Misma persona e instante; ambas premisas se aceptan como verdaderas.

Es el silogismo disyuntivo. No exige que la o sea exclusiva: al descartar p, queda q en cualquiera de las dos lecturas.

No: p = V y q = V es un contraejemplo

Con p = V y q = F también se cumplen las premisas

Si la premisa fuera p ⊕ q, de p sí se deduciría ¬q

Condición: Lógica clásica; mismo contexto y significado de las letras.

La afirmación de una alternativa solo excluye la otra cuando se ha establecido la exclusividad. Esta es la diferencia que debe respetarse al razonar.

De p se obtiene p ∨ q

p = V y q = F producen una disyunción V

La regla no permite concluir q

Condición: Regla de introducción de la disyunción inclusiva.

Añadir una alternativa mediante o inclusiva conserva la verdad de la disyunción; no demuestra la nueva alternativa ni que exista una relación causal entre ambas.

Exactamente una: (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r)

Encadenar (p ⊕ q) ⊕ r no expresa lo mismo

Con las tres marcadas: (V ⊕ V) ⊕ V = F ⊕ V = V

Pero tres marcadas incumplen exactamente una

Condición: Tres casillas distintas; exactamente una seleccionada.

La disyunción exclusiva binaria encadenada detecta un número impar de valores verdaderos. Con tres opciones también admite tres verdaderas; por eso hay que escribir la condición completa.

Condición: Lógica clásica; mismo contexto y significado de las letras.

Las respuestas distinguen los datos conocidos de lo que puede deducirse; una alternativa desconocida no se toma automáticamente como falsa.

1. Identifica las proposiciones y fija su contexto

2. Decide si se admiten ambas o se exige exactamente una

3. Usa ∨ o ⊕ y marca los paréntesis

4. Evalúa cada parte y consulta la fila correcta

5. Si hay una conclusión adicional, revisa sus premisas

Condición: Lógica clásica; mismo contexto y significado de las letras.

Una tabla de disyunción no demuestra por sí sola una relación de causa y efecto. Separar la alternativa, la regla condicional y la conclusión evita atribuir al conector conclusiones que no demuestra.