ARITMÉTICA · DISTINTAS FORMAS DEL MISMO NÚMERO
1/2, 2/4 y 3/6 representan el mismo valor. Recorre 50 equivalencias agrupadas por fracción y aprende a ampliarlas, simplificarlas y comprobarlas con ejemplos explicados.
Dos fracciones equivalentes representan el mismo número, aunque puedan escribirse con numeradores y denominadores diferentes. Para obtenerlas, multiplica ambos términos por el mismo factor no nulo, o divídelos por un divisor común. El denominador nunca puede ser cero.
EJEMPLO 01
Divide la misma unidad en más partes sin cambiar la cantidad elegida.
1/2 = 2/4 = 3/6
(1/2)·(3/3) = 3/6
3/3 = 1
Condición: b y k distintos de cero.
La mitad de la barra ocupa lo mismo aunque cada mitad se divida en dos o en tres partes iguales. Se multiplica la fracción por 1, escrito como 3/3: no por el entero 3. En general, a/b = (a*k)/(b*k).
EJEMPLO 02
Amplía 1/2 con los factores 2, 3, 4, 5 y 6.
(1/2)·(2/2) = 2/4
(1/2)·(3/3) = 3/6
(1/2)·(4/4) = 4/8
(1/2)·(5/5) = 5/10
(1/2)·(6/6) = 6/12
Condición: Aplicar el mismo factor a numerador y denominador.
El numerador y el denominador crecen con el mismo factor. Dos cuartos, tres sextos y las demás fracciones siguen representando la mitad de una unidad.
EJEMPLO 03
Amplía 1/3 con los factores 2, 3, 4, 5 y 6.
(1/3)·(2/2) = 2/6
(1/3)·(3/3) = 3/9
(1/3)·(4/4) = 4/12
(1/3)·(5/5) = 5/15
(1/3)·(6/6) = 6/18
Condición: Aplicar el mismo factor a numerador y denominador.
Cada tercio se subdivide en partes iguales. Por ejemplo, dividir cada tercio en cinco partes produce quince partes en total y cinco seleccionadas.
EJEMPLO 04
Amplía 1/4 con los factores 2, 3, 4, 5 y 6.
(1/4)·(2/2) = 2/8
(1/4)·(3/3) = 3/12
(1/4)·(4/4) = 4/16
(1/4)·(5/5) = 5/20
(1/4)·(6/6) = 6/24
Condición: Aplicar el mismo factor a numerador y denominador.
Cada cuarto se divide en dos, tres, cuatro, cinco o seis partes. Aumenta el número de partes elegidas y también el total, sin cambiar su proporción.
EJEMPLO 05
Amplía 2/5 con los factores 2, 3, 4, 5 y 6.
(2/5)·(2/2) = 4/10
(2/5)·(3/3) = 6/15
(2/5)·(4/4) = 8/20
(2/5)·(5/5) = 10/25
(2/5)·(6/6) = 12/30
Condición: Aplicar el mismo factor a numerador y denominador.
Se conservan dos de cada cinco partes de la unidad. Con factor 3, cada parte se divide en tres: quedan seis seleccionadas de quince.
EJEMPLO 06
Amplía 3/8 con los factores 2, 3, 4, 5 y 6.
(3/8)·(2/2) = 6/16
(3/8)·(3/3) = 9/24
(3/8)·(4/4) = 12/32
(3/8)·(5/5) = 15/40
(3/8)·(6/6) = 18/48
Condición: Aplicar el mismo factor a numerador y denominador.
Tres octavos representan la misma cantidad que seis dieciseisavos. Las cinco ampliaciones mantienen la proporción de tres partes elegidas por cada ocho.
EJEMPLO 07
Amplía 1/10 con los factores 2, 3, 4, 5 y 6.
(1/10)·(2/2) = 2/20
(1/10)·(3/3) = 3/30
(1/10)·(4/4) = 4/40
(1/10)·(5/5) = 5/50
(1/10)·(6/6) = 6/60
Condición: Aplicar el mismo factor a numerador y denominador.
Un décimo puede escribirse como dos veinteavos o seis sesentavos. Todas estas fracciones dan exactamente 0,1 al dividir.
EJEMPLO 08
Amplía 2/9 con los factores 2, 3, 4, 5 y 6.
(2/9)·(2/2) = 4/18
(2/9)·(3/3) = 6/27
(2/9)·(4/4) = 8/36
(2/9)·(5/5) = 10/45
(2/9)·(6/6) = 12/54
Condición: Aplicar el mismo factor a numerador y denominador.
La relación entre los dos términos se conserva: cuatro dieciochoavos se simplifica a dos novenos al dividir ambos por 2.
EJEMPLO 09
Amplía 4/15 con los factores 2, 3, 4, 5 y 6.
(4/15)·(2/2) = 8/30
(4/15)·(3/3) = 12/45
(4/15)·(4/4) = 16/60
(4/15)·(5/5) = 20/75
(4/15)·(6/6) = 24/90
Condición: Aplicar el mismo factor a numerador y denominador.
El factor 5 transforma 4/15 en 20/75: se multiplica 4 por 5 y también 15 por 5. Multiplicar solo el numerador cambiaría el valor.
EJEMPLO 10
Amplía 5/12 con los factores 2, 3, 4, 5 y 6.
(5/12)·(2/2) = 10/24
(5/12)·(3/3) = 15/36
(5/12)·(4/4) = 20/48
(5/12)·(5/5) = 25/60
(5/12)·(6/6) = 30/72
Condición: Aplicar el mismo factor a numerador y denominador.
Cinco doceavos sigue siendo menor que un medio. En 30/72 se comprueba comparando 30 con 36, que es la mitad de 72.
EJEMPLO 11
Amplía 3/7 con los factores 2, 3, 4, 5 y 6.
(3/7)·(2/2) = 6/14
(3/7)·(3/3) = 9/21
(3/7)·(4/4) = 12/28
(3/7)·(5/5) = 15/35
(3/7)·(6/6) = 18/42
Condición: Aplicar el mismo factor a numerador y denominador.
Cada ampliación vuelve a 3/7 al dividir los dos términos por el factor usado. Esta comprobación inversa sirve para revisar toda la lista.
EJEMPLO 12
Reduce 18/24 a su forma irreducible.
18/24 = (18 ÷ 6)/(24 ÷ 6) = 3/4
Otra ruta: 18/24 = 9/12 = 3/4
Condición: Divisor común distinto de cero.
El máximo común divisor de 18 y 24 es 6. Dividir ambos términos por 6 da la forma irreducible de una vez. También puedes dividir primero por 2 y después por 3; la cantidad representada sigue siendo tres cuartos.
EJEMPLO 13
Comprueba si 4/6 y 6/9 representan el mismo número.
4/6 = 2/3
6/9 = 2/3
4/6 = 6/9
Condición: Con numerador y denominador enteros, usar denominador positivo en la forma irreducible.
Ambas se reducen a 2/3. No hace falta que los términos de una sean múltiplos enteros de los de la otra: para pasar directamente de 4/6 a 6/9, el factor es 3/2. Puedes simplificar primero y luego ampliar.
EJEMPLO 14
Decide si 5/8 y 15/24 son equivalentes.
5·24 = 120
8·15 = 120
5/8 = 15/24
Condición: Ambos denominadores distintos de cero.
Para a/b y c/d, compara a*d con b*c. La igualdad a/b = c/d equivale a a*d = b*c porque se pueden multiplicar ambos lados por b*d, que no es cero. Los productos iguales certifican la equivalencia sin usar decimales.
EJEMPLO 15
Comprueba si 3/5 y 6/11 son equivalentes.
3·11 = 33
5·6 = 30
33 ≠ 30; por tanto, 3/5 ≠ 6/11
Aunque los numeradores son 3 y 6, el denominador 5 no se ha multiplicado por 2. La fracción equivalente que se obtiene con factor 2 es 6/10, no 6/11.
EJEMPLO 16
Escribe formas equivalentes de -2/3 y de 2/3.
(−2)/3 = (−4)/6 = 2/(−3)
((−2)·(−2))/(3·(−2)) = 4/(−6)
(−2)/(−3) = 2/3
Condición: Factor no nulo; denominador no nulo.
Un solo signo negativo hace negativa la fracción, esté en el numerador o en el denominador. Dos signos negativos producen una fracción positiva. Multiplicar ambos términos por -2 conserva el valor: cambia el lugar del signo, no la cantidad.
EJEMPLO 17
Compara fracciones con numerador cero.
0/5 = 0/9 = 0/(−7) = 0
Forma simplificada: 0/1
Condición: Denominadores distintos de cero.
Cero dividido por cualquier número no nulo vale cero. La prohibición afecta al denominador: 0/0 no está definido y no pertenece a esta colección.
EJEMPLO 18
Comprueba que la equivalencia también sirve fuera de las fracciones propias.
4/4 = 9/9 = 1
7/3 = 14/6 = 2 + 1/3
Condición: Denominadores no nulos.
La regla no exige que el numerador sea menor que el denominador. En el primer caso, cada fracción representa una unidad completa. En el segundo, ambas representan dos unidades y un tercio.
EJEMPLO 19
Une 1/3, 2/6 y 3/9.
1/3 = 2/6
2/6 = 3/9
Entonces: 1/3 = 2/6 = 3/9
Condición: Denominadores distintos de cero.
La equivalencia es transitiva: si la primera fracción vale lo mismo que la segunda y esta vale lo mismo que la tercera, las tres representan el mismo número. No significa que los factores entre cada pareja deban ser enteros.
EJEMPLO 20
Completa 3/7 = x/35.
35 = 7·5
x = 3·5 = 15
3/7 = 15/35
El denominador se ha multiplicado por 5; el numerador debe seguir el mismo cambio. Comprueba después con productos cruzados: 3*35 y 7*15 valen 105.
EJEMPLO 21
Completa 5/6 = 20/x.
20 = 5·4
x = 6·4 = 24
5/6 = 20/24
Condición: x distinto de cero.
El numerador pasó de 5 a 20 mediante factor 4. Aplicar el mismo factor al denominador da 24. La sustitución confirma la igualdad y respeta la restricción x distinto de cero.
EJEMPLO 22
Calcula 2/3 + 1/4.
2/3 = 8/12; 1/4 = 3/12
2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12
Se expresan las dos cantidades en doceavos para contar partes del mismo tamaño. Cambiar a fracciones equivalentes prepara la suma; la suma final 11/12 no es equivalente a cada sumando por separado.
EJEMPLO 23
Calcula 5/6 - 1/4.
5/6 = 10/12; 1/4 = 3/12
5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12
El denominador 12 permite restar cantidades expresadas en la misma clase de partes. También serviría 24, aunque habría que simplificar 14/24 para obtener 7/12.
EJEMPLO 24
Prueba a sumar 1 al numerador y al denominador de 1/2.
(1 + 1)/(2 + 1) = 2/3
1/2 ≠ 2/3
Productos: 1·3 = 3; 2·2 = 4
Multiplicar ambos términos por el mismo factor no nulo conserva el cociente; sumar el mismo número no lo conserva en general. Puede haber coincidencias, como 1/1 y 2/2, pero no es un procedimiento válido para cualquier fracción.
EJEMPLO 25
Compara 1/2, 3/6 y 7/14 por su valor decimal.
1/2 = 0,5
3/6 = 0,5
7/14 = 0,5
1/2 = 3/6 = 7/14
Condición: Distinguir igualdad exacta de redondeo.
Aquí 0,5 es el cociente exacto, no una aproximación. Las tres fracciones representan la mitad. La equivalencia 1/2 = 7/14 también se obtiene multiplicando ambos términos por 7.
EJEMPLO 26
Compara 1/3 y 33/100 aunque ambos se muestren como 0,33 con dos decimales.
1/3 ≈ 0,33; 33/100 = 0,33
1·100 = 100; 3·33 = 99
1/3 ≠ 33/100
Diferencia: 1/3 − 33/100 = 1/300
Condición: ≈ indica aproximación, no igualdad.
El primer decimal está redondeado; el segundo es exacto. Una calculadora puede mostrar las mismas cifras con pocos decimales y ocultar la diferencia. Comprueba con fracciones exactas o productos cruzados.
EJEMPLO 27
Toma la mitad de una cinta de 1 m y la mitad de otra de 2 m.
(1/2)·1 m = 0,5 m
(1/2)·2 m = 1 m
1/2 = 2/4, pero 0,5 m ≠ 1 m
Condición: Las barras se dibujan con la misma escala de longitud.
Las fracciones 1/2 y 2/4 son equivalentes como números. Para representar con ellas la misma longitud, deben aplicarse a la misma unidad. En el dibujo, ambas cintas tienen la mitad marcada, pero la segunda mide el doble.
EJEMPLO 28
Intenta ampliar 2/5 con factor cero.
(2·0)/(5·0) = 0/0: no definido
Con factor 1: (2·1)/(5·1) = 2/5
Condición: Denominador y factor distintos de cero.
El factor cero anula el denominador y deja una división no definida. El factor 1 sí es válido, aunque conserva exactamente la misma escritura: toda fracción es equivalente a sí misma. Para obtener una escritura diferente, elige otro factor permitido.
OpenStax · Multiplicar y dividir fracciones: propiedad de equivalencia y simplificación. Colección original conservada, con explicaciones y dibujos preparados para Ejemplosde.