ARITMÉTICA · RAÍCES Y FRACCIONES
La raíz cuadrada de una fracción no negativa es el número no negativo que, elevado al cuadrado, devuelve esa fracción. Practica con raíces exactas, radicales simplificados y una colección de 40 ejercicios resueltos.
Si a ≥ 0 y b > 0, se cumple √(a/b) = √(a)/√(b). Antes de separar las raíces, simplifica la fracción y revisa su signo. Un radical irracional también puede expresar un resultado exacto.
Cómo leer y copiar: en √(a/b), toda la fracción queda dentro de la raíz. Al copiar usamos sqrt(a/b) para conservar ese alcance; * indica multiplicación y ^2, elevar al cuadrado.
EJEMPLO 01
Calcula √(9/4).
√(9/4) = √(9)/√(4) = 3/2
Comprobación: (3/2)2 = 9/4
Condición: Fracción no negativa; denominador positivo.
Se toma la raíz no negativa del numerador y del denominador. El resultado 3/2 es mayor que uno porque el radicando 9/4 también lo es. En el dibujo, el cuadrado coloreado tiene lado 3/2 y área 9/4.
EJEMPLO 02
Calcula las dos raíces.
√(4/16) = 2/4 = 1/2
√(9/25) = 3/5
Condición: Raíces principales no negativas.
La fracción obtenida puede reducirse: 2/4 = 1/2. Comprueba elevando al cuadrado: (1/2)2 = 1/4 = 4/16 y (3/5)2 = 9/25.
EJEMPLO 03
Calcula √(3/9) y √(7/16).
√(3/9) = √(3)/3
√(7/16) = √(7)/4
Condición: Numerador no negativo y denominador positivo.
Estas expresiones son valores exactos, aunque sean irracionales. No es necesario sustituirlas por decimales para que el cálculo esté resuelto. Los radicandos 3 y 7 no tienen factores cuadrados mayores que 1.
EJEMPLO 04
Calcula √(4/7) y √(36/11).
√(4/7) = 2/√(7) = 2·√(7)/7
√(36/11) = 6/√(11) = 6·√(11)/11
Condición: El factor utilizado para racionalizar es distinto de cero.
Para racionalizar, multiplica numerador y denominador por el mismo radical no nulo. Por ejemplo, √(7)·√(7) = 7. La forma original y la racionalizada tienen exactamente el mismo valor.
EJEMPLO 05
Calcula √(10/11) y √(15/14).
√(10/11) = √(10)/√(11) = √(110)/11
√(15/14) = √(15)/√(14) = √(210)/14
Condición: Radicandos no negativos y denominador no nulo.
Que ambos términos tengan raíces irracionales no impide operar. Al multiplicar por la raíz del denominador se obtiene una forma equivalente sin radical abajo. 110 y 210 no contienen factores cuadrados mayores que 1.
EJEMPLO 06
Calcula y conserva el resultado exacto.
√(16/36) = 4/6 = 2/3
√(1/4) = 1/2
√(1/9) = 1/3
√(4/25) = 2/5
√(9/36) = 3/6 = 1/2
Condición: Raíz principal; fracciones positivas.
Los términos son cuadrados perfectos. Extrae ambas raíces y simplifica el cociente; 4/6 = 2/3 y 3/6 = 1/2.
EJEMPLO 07
Calcula y conserva el resultado exacto.
√(100/81) = 10/9
√(121/49) = 11/7
√(16/25) = 4/5
√(64/25) = 8/5
√(144/49) = 12/7
Condición: Raíz principal; fracciones positivas.
Los términos son cuadrados perfectos. Extrae ambas raíces y simplifica el cociente; 4/6 = 2/3 y 3/6 = 1/2.
EJEMPLO 08
Calcula y conserva el resultado exacto.
√(5/16) = √(5)/4
√(3/36) = √(3)/6
√(2/49) = √(2)/7
√(11/25) = √(11)/5
√(13/64) = √(13)/8
Condición: Raíz principal; fracciones positivas.
Conserva los radicales que no se pueden reducir. En el último ejercicio de esta familia, √(8)/2 = 2·√(2)/2 = √(2); dejar √(8) sin simplificar no es necesario.
EJEMPLO 09
Calcula y conserva el resultado exacto.
√(21/49) = √(21)/7
√(91/100) = √(91)/10
√(65/121) = √(65)/11
√(37/144) = √(37)/12
√(8/4) = √(8)/2 = √(2)
Condición: Raíz principal; fracciones positivas.
Conserva los radicales que no se pueden reducir. En el último ejercicio de esta familia, √(8)/2 = 2·√(2)/2 = √(2); dejar √(8) sin simplificar no es necesario.
EJEMPLO 10
Calcula y conserva el resultado exacto.
√(16/14) = 4/√(14) = 2·√(14)/7
√(100/13) = 10/√(13) = 10·√(13)/13
√(121/12) = 11/√(12) = 11·√(3)/6
√(144/11) = 12/√(11) = 12·√(11)/11
√(49/10) = 7/√(10) = 7·√(10)/10
Condición: Raíz principal; fracciones positivas.
Las formas intermedias se conservan para mostrar el procedimiento. Después se racionaliza y se extraen factores cuadrados. Por ejemplo, 11/√(12) = 11·√(3)/6.
EJEMPLO 11
Calcula y conserva el resultado exacto.
√(64/8) = 8/√(8) = 2·√(2)
√(25/7) = 5/√(7) = 5·√(7)/7
√(4/6) = 2/√(6) = √(6)/3
√(9/3) = 3/√(3) = √(3)
√(100/15) = 10/√(15) = 2·√(15)/3
Condición: Raíz principal; fracciones positivas.
Las formas intermedias se conservan para mostrar el procedimiento. Después se racionaliza y se extraen factores cuadrados. Por ejemplo, 11/√(12) = 11·√(3)/6.
EJEMPLO 12
Calcula y conserva el resultado exacto.
√(5/8) = √(5)/√(8) = √(10)/4
√(2/7) = √(2)/√(7) = √(14)/7
√(17/13) = √(17)/√(13) = √(221)/13
√(32/33) = √(32)/√(33) = 4·√(66)/33
√(101/90) = √(101)/√(90) = √(1010)/30
Condición: Raíz principal; fracciones positivas.
Simplifica la fracción o los radicales y racionaliza si resulta útil. Las formas finales son exactas; no necesitas redondearlas. Cada una, elevada al cuadrado, devuelve la fracción de partida.
EJEMPLO 13
Calcula y conserva el resultado exacto.
√(56/50) = √(56)/√(50) = 2·√(7)/5
√(11/5) = √(11)/√(5) = √(55)/5
√(12/65) = √(12)/√(65) = 2·√(195)/65
√(44/82) = √(44)/√(82) = √(902)/41
√(10/200) = √(10)/√(200) = √(5)/10
Condición: Raíz principal; fracciones positivas.
Simplifica la fracción o los radicales y racionaliza si resulta útil. Las formas finales son exactas; no necesitas redondearlas. Cada una, elevada al cuadrado, devuelve la fracción de partida.
EJEMPLO 14
Calcula √(8/18).
8/18 = 4/9
√(8/18) = √(4/9) = 2/3
Comprobación: (2/3)2 = 4/9 = 8/18
Ni 8 ni 18 son cuadrados perfectos, pero la fracción reducida sí es el cuadrado de un número racional. Clasifica el resultado después de simplificar, no solo mirando los términos originales.
EJEMPLO 15
Calcula √(72/25).
√(72/25) = √(36·2)/5
= 6·√(2)/5
Comprobación: (6·√(2)/5)2 = 72/25
El factor 36 sale del radical como 6. El factor 2 permanece dentro porque no es un cuadrado perfecto. El resultado sigue siendo irracional, pero queda simplificado.
EJEMPLO 16
Calcula √(3/8).
√(3/8) = √(3)/(2·√(2))
= (√(3)·√(2))/(2·√(2)·√(2))
= √(6)/4
Condición: El denominador es no nulo.
Primero, √(8) = 2·√(2). Después multiplica arriba y abajo por √(2). Como √(2)/√(2) = 1, la fracción conserva su valor.
EJEMPLO 17
Calcula √(2/8).
√(2/8) = √(1/4) = 1/2
También: √(2)/√(8)
= √(2)/(2·√(2)) = 1/2
El radical común se cancela porque es un factor no nulo. Que las raíces de los términos originales sean irracionales no obliga a que el resultado final lo sea.
EJEMPLO 18
Calcula la raíz cuadrada de 2 1/4.
2 1/4 = 2 + 1/4 = 9/4
√(2 1/4) = √(9/4) = 3/2
= 1 1/2
Condición: El radicando completo es 2 + 1/4.
Convierte el mixto en una sola fracción antes de aplicar la raíz. No calcules la raíz del entero y de la parte fraccionaria por separado para sumarlas.
EJEMPLO 19
Calcula √(0/7) y √(9/9).
√(0/7) = √(0) = 0
√(9/9) = √(1) = 1
Condición: Denominadores distintos de cero.
Cero es su propia raíz principal y 1 también lo es. Un numerador cero es válido cuando el denominador no es cero; una expresión como 1/0 no define una fracción.
EJEMPLO 20
Examina √(−9/16).
√(−9/16): no existe en los números reales
Para todo número real x, x2 ≥ 0
Condición: Dominio de trabajo: números reales.
Ningún número real elevado al cuadrado da −9/16. No conviertas el resultado en −3/4: su cuadrado sería +9/16. Esta explicación se limita a raíces reales.
EJEMPLO 21
Compara √((−9)/(−16)) y √(9/(−16)).
(−9)/(−16) = 9/16
√((−9)/(−16)) = √(9/16) = 3/4
9/(−16) = −9/16: no tiene raíz real
Condición: Para separar: a ≥ 0 y b > 0 en √(a/b).
Dos signos negativos dan una fracción positiva. Simplifica esos signos antes de separar numerador y denominador: √(−9)/√(−16) no es una expresión real. La regla de separación exige numerador no negativo y denominador positivo.
EJEMPLO 22
Compara √(9/4) con resolver x2 = 9/4.
√(9/4) = 3/2
x2 = 9/4 tiene soluciones x = 3/2 y x = −3/2
(3/2)2 = 9/4; (−3/2)2 = 9/4
Condición: El radicando es positivo; si fuera cero, habría una única solución.
El símbolo de raíz cuadrada designa un solo valor no negativo. La ecuación busca todos los números cuyo cuadrado es 9/4, y por eso tiene dos soluciones. No añadas ± al valor de la raíz principal.
EJEMPLO 23
Calcula √((−3/5)2).
(−3/5)2 = 9/25
√((−3/5)2) = √(9/25) = 3/5
Regla: √(x2) = |x| para x real
Condición: x real; |x| representa su valor absoluto.
Elevar al cuadrado borra el signo; la raíz principal no lo recupera. Para x = −3/5, el valor absoluto es 3/5. La fórmula √(x2) = x solo es válida cuando x no es negativo.
EJEMPLO 24
Calcula √(2/3) y redondea a cuatro decimales.
Exacto: √(2/3) = √(6)/3
Aproximado: √(2/3) ≈ 0,8165
0,81649 < √(2/3) < 0,81650
Condición: Redondeo a cuatro decimales; no confundir = con ≈.
La expresión √(6)/3 es exacta. El decimal 0,8165 es un redondeo; no debe unirse a la raíz mediante una igualdad. La cota se comprueba elevando ambos extremos positivos al cuadrado y comparándolos con 2/3.
EJEMPLO 25
Un cuadrado tiene área de 9/16 m². ¿Cuánto mide su lado?
Lado = √(9/16) m = 3/4 m
Comprobación: (3/4 m)·(3/4 m) = 9/16 m²
Condición: Longitud no negativa; el área está expresada en m².
El área es lado por lado, de modo que la longitud se obtiene con la raíz principal. La cuadrícula de referencia tiene lado 1 m; la región coloreada ocupa 3 de sus 4 partes en cada dirección.
EJEMPLO 26
Compara √(9/16 + 16/16) con √(9/16) + √(16/16).
√(9/16 + 16/16) = √(25/16) = 5/4
√(9/16) + √(16/16) = 3/4 + 1 = 7/4
5/4 ≠ 7/4
La propiedad para productos y cocientes no es una propiedad para sumas. Resuelve primero la suma que está dentro del radical. Los paréntesis marcan exactamente qué cantidad queda bajo la raíz.
EJEMPLO 27
Compara √(1/4) con 1/4 y √(9/4) con 9/4.
√(1/4) = 1/2 > 1/4
√(9/4) = 3/2 < 9/4
Condición: Radicando real no negativo.
Entre 0 y 1, la raíz cuadrada es mayor que el número de partida. Por encima de 1, es menor. En 0 y en 1 el valor se mantiene. Sacar una raíz no significa siempre obtener un número menor.
EJEMPLO 28
Compara √(50/98) y √(2/3).
50/98 = 25/49; √(25/49) = 5/7
2/3 ya es irreducible; √(2/3) = √(6)/3
Condición: Fracción de enteros en forma irreducible y denominador positivo.
Una fracción no negativa reducida tiene raíz racional si y solo si su numerador y su denominador son cuadrados de enteros. En 25/49 ambos lo son; en 2/3 no. Por eso el primer resultado es racional y el segundo es irracional.
OpenStax · Simplificación de raíces cuadradas: productos, cocientes y factores cuadrados. OpenStax · Radicales y exponentes racionales: raíz principal y propiedades. Ejercicios históricos recuperados; explicaciones, ampliaciones y dibujos preparados para Ejemplosde.